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济钢高中2011级高三下学期 第三次摸底考试

数学（文科）试题 2014/4/15

一、选择题（共10道小题，每题5分，共50分）

1．设集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知复数
，则 （　　）

A．
B．z的实部为1 C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i

3．下列命题中的真命题是 山东中学联盟 （ ）

A．对于实数、b、c，若
，则

B． x2＞1是x＞1的充分而不必要条件

C．
，使得
成立

D．
，
成立

4.如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为 （ ）

A．
B．20

C．
D．28

5．双曲线
的离心率为
,则它的渐近线方程是 （ ）

A．
B．

C．
D．

6．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：

①若mα，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；

③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.

其中真命题的个数是（ ）

A 1 B. 2 C. 3 D. 4

7.下列四个图中，函数
的图象可能是 （　　）

A B C D

8．数列
中，
如果数列
是等差数列，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
，若a、b、c互不相等，且
，则a＋b＋c的取值范围是 （ ）

A．（1，2014） B．（1，2015） C．（2，2015） D．[2，2015]

10．已知抛物线
的准线过双曲线
的左焦点且与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为
，则双曲线的离心率为 （　　）

A．
B．4 C．3 D．2

二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分）

11．设
，若f (x)在x=1处的切线与直线
垂直，则实数a 的值为 ．

12．设关于x，y的不等式组
表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，则m的取值范围是 .

13．在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知
,且
，

则b= .

14．如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量
在A点处与圆O

相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则
·
的

取值范围是 .

15．函数
的定义域为A,若
且
时总有
,则称

为单函数.例如,函数
是单函数.下列命题:

①函数
是单函数; ②函数
是单函数;

③若
为单函数,
且
,则
;

④若函数
在定义域内某个区间D上具有单调性,则
一定是单函数.

其中真命题是 (写出所有真命题的编号).

三、解答题（本大题共6小题，满分75分）

16．（本题满分12分）

已知向量
=（
），
=（
,

），其中（
）．函数
，其图象的一条对称轴为
．

（I）求函数
的表达式及单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若
=1，b=l，S△ABC=
，求a的值．

17.（本小题满分12分）如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，

AD∥BC,CE∥BG，且
，平面ABCD⊥平面

BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2.

求证: （Ⅰ）EC⊥CD ；

（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；

（III）求：几何体EG-ABCD的体积.

18．（本小题满分12分）

对一批共50件的某电器进行分类检测，其重量（克）统计如下：

重量段

[80，85）

[85，90）

[90，95）

[95，100]



件数

5

a

15

b



 规定重量在82克及以下的为“A”型，重量在85克及以上的为“B”型，已知该批电器有“A”型2件

（Ⅰ）从该批电器中任选1件，求其为“B”型的概率；

（Ⅱ）从重量在［80,85)的5件电器中，任选2件，求其中恰有1件为“A”型的概率.

19．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和
（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3

（1）求an；

（2）求数列{nan}的前n项和Tn。

20．（本小题满分13分）

已知关于x的函数

（Ⅰ）当
时，求函数
的极值；

（Ⅱ）若函数
没有零点，求实数a取值范围.

21．（本小题满分14分）如图；.已知椭圆C:
的离心率为
，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:
设圆T与椭圆C交于点M、N.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求
的最小值，并求此时圆T的方程;

（Ⅲ）设点P是椭圆C 上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与轴交于点R，S，

O为坐标原点。求证：
为定值.

高三数学试题（文）参考答案

一、选择题：DCCBA ACACD

二、填空题：

11．－1；　12．
； 13．4 14．
15．③

三、解答题

由余弦定理得
，……11分

故
………12分

17.（Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，

平面ABCD∩平面BCEG=BC,
平面BCEG,

EC⊥平面ABCD，…………3分

又CD平面BCDA, 故 EC⊥CD…………4分

（Ⅱ）证明：在平面BCDG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连

DM，则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA,且

MG∥AD,MG=AD， 故四边形ADMG为平行四边形，

AG∥DM……………6分

∵DM平面BDE，AG平面BDE， AG∥平面BDE…………………………8分

（III）解：
…………………… 10分

…………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）设“从该批电器中任选1件，其为”B”型”为事件A1，

则
，……………………………………………………………………3分

所以从该批电器中任选1件，求其为”B”型的概率为
. ……………………………4分

（Ⅱ）设“从重量在[80,85)的5件电器中，任选2件电器，求其中恰有1件为”A”型”为事件A2,记这5件电器分别为a，b，c，d，e，其中”A”型为a，b.从中任选2件，所有可能的情况为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种．……………8分

其中恰有1件为”A”型的情况有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6种．………… 10分

所以
.所以从重量在[80,85)的5件电器中，任选2件电器，其中恰有1件为”A”型的概率为. …………………………………………………………………………12分

19．(1)当
时，

则

，

，∴c=2.∵a2=4，即
，解得k=2，∴
（n）1）

当n=1时，

综上所述

(2)
，则

（1）-（2）得

20．解：（Ⅰ）
，
. ………………………………2分

当
时，
,
的情况如下表：



2









0







↘

极小值

↗



所以，当
时，函数
的极小值为
. ……………………………6分

（Ⅱ）
.

①当
时，
的情况如下表：



2









0







↘

极小值

↗



 ---7分

因为F(1)=1＞0, …………………………………………………………………………8分

若使函数F(x)没有零点，需且仅需
，解得
,………………… 9分

所以此时
；……………………………………………………………………10分

②当
时，
的情况如下表：



2









0







↗

极大值

↘





-----11分

因为
,且
，

所以此时函数
总存在零点. ……………………………………………………12分

（或：当
时，

当
时，令

即

由于
令

得
，即
时
，即
时
存在零点.）

综上所述，所求实数a的取值范围是
.………………………………13分

21．解：（I）由题意知
解之得；
，由
得b=1，

故椭圆C方程为
;…………………3分

（II）点M与点N关于轴对称，

设
不妨 设
.

由于点M在椭圆C上，
,

由已知
,

,

阶段
;

由于
故当
时，
取得最小值为-
,

当
时
，故
又点M在圆T上，代入圆的方程得
,故圆T的方程为：
；.……………………………………………………………..8分

（III）设
，则直线MP的方程为

令
，得
，同理
, 故
，……10分

又点M与点P在椭圆上，故
，

得
，

为定值．…………………………………………….14分