高三文科数学

第I卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，
，则
为 （ ）

A.
B.
C.{-1，0，1} D.

2．若复数
是实数，则的值为 （ ）

A．
B．3 C．0 D.

3．曲线C：y = x2 + x 在 x = 1 处的切线与直线ax－y+1= 0互相垂直，则实数a的值为（ ）

A．
B．－3 C．
D．－

4．已知变量x，y满足
的最大值为 （ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

5．如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为 （ ）

A．
B．20

C．
D．28

6．下列命题中：

①若p，q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件.

②若p为：
，则
为：
.

③命题“
”的否命题是“
”.

④命题“若
则q”的逆否命题是“若p，则
”.

其中正确结论的个数是 （ ）

A．1 B．2 C．3 D.4

7．双曲线
的离心率为
,则它的渐近线方程是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．将函数
的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位，所得函数的最小正周期为 （ ）

A．π B．2π C．4π D．8π

9．数列
的前n项和
；
（n∈N*）；则数列
的前50项和为 （ ）

A．49 B．50 C．99 D．100

10．
中,三边之比
，则最大角的余弦值等于 （ ）

A．
B．
C．

D．

11．数列
中，
如果数列
是等差数列，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知
,若
在
上恒成立,则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分,共25分)

13．是第四象限角，
，则
___________________.

14．已知向量
且
则
的值是___________.

15．过抛物线
的焦点，且被圆
截得弦最长的直线的方程是

__________________。

16．
为等比数列，若
，则数列
的通项
=_____________.

三、解答题： (本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)

17.（本题满分12分）

已知向量
=（
），
=（
,

），其中（
）．函数
，其图象的一条对称轴为
．

（I）求函数
的表达式及单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若
=1，b=l，S△ABC=
，求a的值．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
⊥底面
，底面
为正方形，
，，分别是
，
的中点．

（I）求证：
平面
；

（II）求证：
；

（III）设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC的体积.

19．（本小题满分12分）

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．

（I）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为
．求关于的一元二次方程
有实根的概率；

（II）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n．若以
作为点P的坐标，求点P落在区域
内的概率．

20．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=
，为常数。

（I）当=1时，求f（x）的单调区间；

（II）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求的取值范围。

21．（本小题满分12分）

已知椭圆

的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（I）求椭圆
的方程；

（II）若过点
（2，0）的直线与椭圆
相交于两点
，设为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），当
＜
时，求实数的取值范围．

22．（本小题满分14分）

已知数列
满足
且对一切
,

有

（Ⅰ）求证：对一切

（Ⅱ）求数列
通项公式.

（Ⅲ）求证：

文科数学参考答案

一.CADCB, AACBD, AB二．13．
； 14.
； 15．x+y-1=0

16.
或

由余弦定理得
，……11分故
………12分

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：
分别是
的中点，

，
． …4分

（Ⅱ）证明：四边形
为正方形，
．

，

．

，
，

．

，

． ………8分

（Ⅲ）解：连接AC,DB相交于O,连接OF,

则OF⊥面ABCD,

∴
………12分

19．（1）基本事件（a，b）有：（1,2） （1,3） （1,4） （2,1） （2,3） （2,4） （3,1） （3,2） （3,4） （4,1） （4,2） （4,3）共12种。

∵
有实根， ∴△=4a2-4b2≥0，即a2≥b2。

记“
有实根”为事件A，则A包含的事件有：（2,1） （3,1） （3,2） （4,1） （4,2） （4,3） 共6种。

∴PA.=
。 …………………6分

（2）基本事件（m，n）有：（1，1） （1,2） （1,3） （1,4） （2,1） （2，2） （2,3） （2,4） （3,1） （3,2） （3，3） （3,4） （4,1） （4,2） （4,3） （4，4）共16种。

记“点P落在区域
内”为事件B，则B包含的事件有：

（1，1） （2,1） （2，2） （3,1） 共4种。∴PB.=
。 …………………12分

20．（1）当a=1时，f（x）=
，则f（x）的定义域是

。

由
，得0＜x＜1；由
，得x＞1；

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，
上是减函数。……………6分

（2）
。若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，

则
或
在区间[1，2]上恒成立。∴
，或
在区间[1，2]上恒成立。即
，或
在区间[1，2]上恒成立。

又h（x）=
在区间[1，2]上是增函数。h（x）max=（2）=
，h（x）min=h（1）=3

即

，或
。 ∴

，或
。……………12分

21．解：（1）由题意知
， 所以
．即
．．． 2分

又因为
，所以
，
．故椭圆
的方程为
．．．．．4分

（2）由题意知直线
的斜率存在.

设
：
，
，
，
，

由
得
.

，
.

，
.．．．．．．．．．．6分

∵
，∴
，
，
.

∵点在椭圆上，∴
，∴
．．．．．．．．．．8分

∵
＜
，∴
，∴

∴
，

∴
，∴
.．．．．．．10分

∴
，∵
，∴
，

∴
或
，∴实数取值范围为
. 12分

22.解: (1) 证明:
………. ①

…………②

② - ①：

(
)

(2)解：由
及

两式相减,得:

∴
.

(3) 证明: ∵

∴

∴