理科数学答案

一.选择题：A卷：ABCAB BDDCC DB B卷：ACBAB BDCDC DB

二.填空题：13. 120； 14. 4x-y-3=0； 15. 50； 16. 18.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

解：（1）∵

∴
----------------3分

∵
∴

∴
………………………………6分

（2）法一：由
得

……………8分

同理得
--------------------10分

所以
，故
=
……………………………12分

法二：由
得

……………8分

由
得

，即
---------------------10分

∴
∴

即
的值分别为

所以
=
………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（1）易得问卷调查中，从上述四省抽取的人数分别为
. …………… 2分

设“从参加问卷调查的
名务工人员中随机抽取两名，这两名人员来自同一个省份”为事件
，

从参加问卷调查的
名务工人员中随机抽取两名的取法共有C

种，

这两名人员来自同一省份的取法共有C
C
C
C

.

∴

.………… 5分

（2）由（1）知，在参加问卷调查的
名务工人员中，来自四川、湖北两省的人员人数分别为
.

的可能取值为
， ………… 7分

，


，


.

…………… 10分

∴
的分布列为：





















…………… 12分

19. （本小题满分12分）

证明:(1)因为等边△
的边长为3,且

,

所以
,
. 在△
中,
,

由余弦定理得
.

因为
,

所以
. ………………………3分

折叠
后有
,

因为平面

平面
, 又平面

平面

,

平面
,
,所以
平面

故A1D⊥EC.…………6分

（2）法一:由(1)的证明,可知
,
平面
.

以
为坐标原点,以
射线
、
、
分别为
轴、
轴、
轴的正半轴,建立空间直角坐标系
如图 , 作
于点
,连结
、
，设

, 则
,
,
,

所以
,
,
,

所以

因为
平面
, 所以平面
的一个法向量为
…8分

设直线
与平面
所成的角为
,

所以
,

①若
则
…
…9分

②若
则

令

因为函数
在
上单调递增，所以

即

所以

故所求的最大值为
（此时点P与C重合）…………12分

法二:如图,作
于点
,连结
、
，

由(1)有
平面
,而
平面
,

所以

,又
, 所以
平面

所以
是直线
与平面
所成的角 , ………………………8分

设

,则
,
,DH=BD-BH=2-

所以A1H=

所以在
△
中,tan
=

①若x=0，则tan
=
…………
…9分

②若
则tan
=

令

因为函数
在
上单调递增，所以

所以tan
的最大值为
（此时点P与C重合）…………12分

20. （本小题满分12分）

解：⑴由
，可得
，………………………1分

椭圆方程为
，代入点
可得
，

故椭圆E的方程为
………………………4分

⑵由
得
，把它代入E的方程得：

，设
得：

，

…………………7分

因为以MN为直径的圆过点A,所以
，………………………8分

所以

………10分

因为M、N与A均不重合，所以

所以，
，直线l的方程是
，直线l过定点T

由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0

所以直线l过定点T
……………12分

21. （本小题满分12分）

解：（1）函数
的定义域为
. ………………………………1分

由题意
， ………………………………
………2分

由
得
，解得
，函数
的单调递减区间是
；

由
得
，解得
，

函数
的单调递增区间是
． ………………………………4分

（2）由（1）知，当
时，函数
的最小值为

令
，由

当

所以由

得
…………………………………………7分

（3）因为

，

．

.

所以

．………………………10分

因为
且
，
，

所以

，
所以
．……………11分

又
， 所以

所以
，

即
．………………………………12分

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

（1）证明：连结OA,因为⊙O的直径为15，所以OA=OB=7.5

又PA=10，PB=5，所以PO=12.5………………………2分

在△APO中，PO2=156.25，PA2+OA2=156.25

即PO2= PA2+OA2，所以PA⊥OA，又点A在⊙O上

故PA与⊙O相切………………………5分

（2）解：∵PA为⊙O的切线，∴∠ACB=∠PAB,

又由∠P=∠P, ∴△PAB∽△PCA,∴
………7分

设AB=k，AC=2k, ∵BC为⊙O的直径且BC=15 ，AB⊥AC

∴
所以

∴
………………10分

23. （本小题满分10分）选修４－４：坐标系与参数方程

解：（1）由
得

所以直线
的普通方程为：
，………………………2分

由

又

所以，圆
的标准方程为
，………………………5分

（2）因为直线
与圆
恒有公共点， 所以
，…………7分

两边平方得

所以a的取值范围是
.……………………………………………10分

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

解： （1）因为
………………………3分

所以当
>1时，由
，又
>1

所以

当
时，
，又
，

所以

当
时，
，又

所以

综上，所求的解集为
。………………………6分

（2）结合（1）可得，函数
的值域为
…………7分

又直线
(a
)与函数y=f(x)的图象恒有公共点

所以

即a的取值区间是
.……………………………………10分