2014届高三年漳州八校第三次联考理科数学试题

（考试时间：120分钟 ?总分: 150分）

一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。）

1．若集合
，则集合
中的元素的个数为（ ）

(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2

2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为-25时，[来源:Zxxk.Com]

输出x的值为（ ）

（A） -1 （B） 1 （C） 3 （D） 9

3．下面是关于复数
的四个命题：
，
，

的共轭复数为
，
的虚部为
.其中的真命题为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图，则该几何体的左视图为（ ）

（A） （B）
（C） （D）

5. 在
的二项展开式中，
的系数为（ ）

(A) 10 　(B) -10 (C) 40 (D) -40

6．函数f（x）=sinx-cos(x+
)的值域为( )

（A）[ -2 ,2] （B）[-

,
] （C）[-1,1 ] （D）[-
,
]

7. 若直线
上存在点
满足约束条件
，则实数
的最大值为（ ）

(A) -1 (B) 1 (C)
(D) 2

8. 若
，
，
均为单位向量，且
，
，则

的最大值为（ ）

（A）
（B） 1 （C）
（D） 2

9．已知双曲线
（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )

（A）
（B）
（C）
（D）

10．定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列
，有
仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”.现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=
； ②f（x）=
； ③
； ④f（x）=ln|x|，

则其中是“保等比数列函数”的f（x）的
序号
为（ ）

(A) ①② (B) ③④ (C) ①③ (D) ②④

二、填空题（本题5小题，每小题4分,共20分。 请将正确答案填入答题卷中。）

11．计算定积分
___________。

12．数学
老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表请小牛同学计算其数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案
。

13．等差数列
的前n项和为
,
,
,当
取最小值时,n等于　　　 .

14. △ABC中，sinB既是sinA，smC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则∠B=_________

15．平面直角坐标系中，若
与
都是整数，就称点
为整点，下列命题正确的是_______

①存在这样的直
线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果
与
都是无理数，则直线
不经过任何整点

③直线
经过无穷多个整点，当且仅当
经过两个不同的整点

④直线
经过无穷多个整点的充分必要条件是：
与
都是有理数

⑤存在
恰经过一个整点的直线

三、解答题（本题6小题,共80分, 请将正确答案填入答题卷中。）

16.(13分) 甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2014年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0．5，0．6，0．4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0．6，0．5，0．75．

（I）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；

（Ⅱ）求甲，乙，丙三人中至少两人获得自主招生入选资格的概率

17.(13分) 设函数
（

，
）的部分图象如图所示，其中△PQR为

等腰直角三角形，∠PQR=
，PR=1. 求：

（I）函数
的解析式；

（Ⅱ）函数
在
时的所有零点之和。

18.(13分) 如图直三棱柱
中，
，
是
上一点，

且
平面
.

（I）求证：
平面
；

（Ⅱ）在棱
是否存在一点
，使平面
与平面

的夹角等于
，若存在，试确定
点的位置，若不存在，

请说明理由.

19.(13分) 已知抛物线
，过点
（其中
为正常数）任意作一条直线
交抛物线
于
两点，
为坐标原点.

（I）求
的值；

（Ⅱ）过
分别作抛物线
的切线
，探求
与
的
交点是否在定直线上，证明你的结论.

20.(14分) 已知函数
.

（I）若函数
在定义域内为增函数，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）在（1）的条件下，若
，
，
，求
的极小值；

(Ⅲ)设
，若函数
存在两个零点
，

且满足
，问：函数
在
处的切线能否平行于
轴？若能，

求出该切线方程，若不能，请说明理由.

21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，在答题卡上把所选题号填入括号中.

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵
，
绕原点逆时针旋转
的变换所对应的矩阵为
．

（Ⅰ）求矩阵
；

（Ⅱ）若曲线
：
在矩阵
对应变换作用下得到曲线
，求曲线
的方程．[来源:学科网ZXXK]

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

求过椭圆
（
为参数）的右焦点且与直线
（
为参数）平行的直线
的极坐标方程。

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

设函数f(x)=|x－4|+
,

（Ⅰ）求f(x)的最小值m

（Ⅱ）当
(a,b,c∈R)时,求
的最小值.

2014届高三年漳州八校第三次联考理科数学答案

一、选择题

C C C D D B B B A C

二、填空题

11. 　
12. __2__ 13. 6 14. 　
　 15. __①③⑤__

三、解答题

16. 解: （I）分别记甲，乙，丙通过审核材料为事件

记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料为事件B。

则

=

=
……6分

（Ⅱ）甲，乙，丙三人获得自主招生入选资格概率均为
……9分　

记甲，乙，丙三人中至少两人获得自主招生入选资格为事件C。

则P(C)=
……13分

17.
解：（I）由已知
，
，所以
………6分

（Ⅱ）由
，得
，

故
或
（
Z），…9分

所以当
时的所有零点之和

为
。……13分

18. 解：（Ⅰ）∵
平面
，∴
.

∵
是直三棱柱，∴
平面
，∴
.

∵
，
平面
,
平面
,

∴
平面
.………4分

（Ⅱ）

平面
.∴
.又
，

于是可建立如图所示的空间直角坐标系
.……5分

∵
是等腰直角三角形，且斜边
，

∴
.

设存在满足条件的点
坐标为

由（Ⅰ）知平面
的法向量
=
, …7分

令平面
的法向量

，
令
得
.……10分

平面
与平面
夹角
∴
，

所以当
为棱
中点时平面
与平面
的夹角等于
.……13分

19. 解：(Ⅰ)设直线
方程为
，

消去
得
，所以

=

故
.……6分

（Ⅱ）
,
方程为

整理得
, 同理得
方程为

………9分

联立方程
,
得
，
, 故
的交点在定直线
上.……13分

20. 解：（Ⅰ）

由题意，知
恒成立，即
.…… 2分

又
，当且仅当
时等号成立.

故
，所以
. ……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令
，则
，则

……5分

由
，得
或
（舍去），
，

①若
，则
单调递减；
在
也单调递减；

②若
，则
单调递增.
在
也单调递增；

故
的极小值为
……8分

（Ⅲ）设
在
的切线平行于
轴，其中

结合题意，有
……10分

①—②得

所以
由④得

所以
⑤ ……11分[来源:Zxxk.Com]

设
，⑤式变为

设
，

所以函数
在
上单调递增，

因此，
，即

也就是，
，此式与⑤矛盾.[来源:Z#xx#k.Com]

所以
在
处的切线不能平行于
轴.……14分

21. （1）解：

（Ⅰ）由已知得，矩阵
……3分

（Ⅱ）矩阵
，它所对应的变换为
解得

把它代人方程
整理，得
，

即经过矩阵
变换后的曲线
方程为
………7分

（2）解：椭圆的普通方程为
右焦点为（4，0），……2分

直线
（
为参数）的普通方程为
，斜率为
；……4分

所求直线
方程为：
[来源:学§科§网Z§X§X§K]

所以极坐标方程为
……7分

（3）解:(Ⅰ)法1: f(x)=|x－4|+
≥|(x－4)－(x－3)|=1,

故函数f(x)的最小值为1. m =1.………4分

法2:
. ……1分

x≥4时,f(x)≥1;x<3时,f(x)>1,3≤x<4时,f(x)=1, ……3分

故函数f(x)的最小值为1. m =1.……4分

(Ⅱ)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1……5分

故a2+b2+c2≥
………6分

当且仅当
时取等号……7分

15. ①③⑤

解析:①正确，令
满足①；

②错误，若
，
过整点（－1,0）；

③正确，设
是过原点的直线，若此直线过两个整点
，则有
，
，两式相减得
，则点
也在直线
上，通过这种方法可以得到直线
经过无穷多个整点，通过上下平移
得对于
也成立；

④错误，当
与
都是有理数时，令
显然不过任何整点；

⑤正确. 如：直线
恰过一个整点