浙江省2014届高三高考模拟冲刺卷（提优卷）（四）

数学理试题

本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，下列结论成立的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
是虚数单位，若复数
满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．“
”是“
”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件

4．已知两条直线
，两个平面
．给出下面四个命题：

①
； ②

；

③
； ④
．

其中正确的命题序号为 （ ）

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

5．如果执行右边的程序框图，若输出的
，则
（ ）

A．8 B．9 C．10 D．9或10

6．设
分别是双曲线
的左、右焦点．若双曲线上存在点
，使
，且
，则双曲线离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是 （ ）

A．20 B．40 C．60 D．80

8．
中，
为锐角，
为其三边长，如果
，则
的大小为 （ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知正三角形
的顶点
，顶点
在第一象限，若点
在
的内部或边界，则
取最大值时，
有 （ ）

A．定值52 B．定值82 C． 最小值52 D． 最小值50

10．定义函数
，则函数
在区间
（
）内的所有零点的和为 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．
展开式中
的系数是 ．

12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的半径为 ．

13．已知向量
满足
，则
最大值为 ．

14．设点
分别在直线
和
上运动，线段
的中点
恒在圆
内，则点
的横坐标的取值范围为 ．

15．已知
，且
，则当
时，
的单调递减区间是 ．

16．设抛物线
的焦点为
，准线为
，
为抛物线上一点，
，
为垂足，如果直线
的斜率为
，则
的面积为 ．

17．已知
是二次函数，令
，如果数列
是各项为正的等比数列，则
．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18． 设数列
的前
项的和为
．已知
，
，
．

（1）设
，求数列
的通项公式；

（2）数列
中是否存在不同的三项，它们构成等差数列？若存在，请求出所有满足条件的三项；若不存在，请说明理由．

19． 在某次娱乐游戏中，主持人拿出甲、乙两个口袋，这两个口袋中各装有大小、形状完全相同，但颜色不同的10个小球，其中甲口袋中装有8个红球，2个白球，乙口袋中装有9个黄球，1个黑球．现进行摸球游戏，主持人宣布游戏规则：从甲口袋中摸一个球，如果摸出的是红球，记4分，如果摸出的是白球，则记
分；从乙口袋中摸一个球，如果摸出的是黄球，记6分，如果摸出的是黑球，则记
分．

（1）如果每次从甲口袋中摸出一个球，记下颜色后再放回，求连续从甲口袋中摸出4个球所得总分（4次得分的总和）不少于10分的概率；

（2）设
（单位：分）为分别从甲、乙口袋中各摸一个球所可获得的总分，求
的数学期望．

20．在四棱锥
中，
，
，点
是线段
上的一点，且
，
．

（1）证明：面
面
；

（2）求平面
与平面
的二面角的正弦值．

21．已知椭圆
的短轴长为单位圆
的直径，且
椭圆的离心率为
．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆短轴的上顶点
作直线分别与单位圆
和椭圆
交于
两点（
两点均在
轴的右侧），设
为椭圆的短轴的下顶点，求
的最大值．

22．已知函数
在
处的切线是
．

（1）试用
表示
和
；

（2）求函数
在
上恒成立，求实数
的取值范围．

2014年浙江省高考模拟冲刺卷（提优卷）

数学理科（四）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． D提示：因为
，所以A，B，C都错．

2． D提示：由
得
，所以
．

3．A提示：当
时，
；当
时，

，得
，推不出
．

4．D提示：①
可能在平面
内，所以①错；②由
得
，因为
，所以
，②正确；③由
可得
，所以③错；④由
，
得
，又
，所以
，即④正确．

5．B 提示：∵
，所以
，故
．

6．B提示：由点
在双曲线上，且
，则
，又
，所以在
中，由余弦定理得
，解得

7．B提示：分成两类，第一类：男女男女男女．先排男生，当男生甲在最前的位置时，女生乙只能在其右侧，当男生甲不在最前的位置时，女生乙均有两种排法，另外两位男生和女生的排法都有
种，所以第一类的排法总数有
种．第二类：女男女男女男，与第一类类似，也有20种排法，所以满足条件的排法总数是40种．

8．D提示：若
，则
，从而

，这与
矛盾；同理
也不可能，所以
，及
．

9．C提示：由题意得
， 因为
，而
，所以
取最大值时，点
的坐标满足

，所以

，
，对称轴
，所以
在
上单调递增，因此当
时
有最小值52

10． D提示：当
时，
，所以
，此时当
时，
；当
时，
，所以
；

由此可得
时，
．

下面考虑
且
时，
的最大值的情况．

当
时，由函数
的定义知
，因为
，所以
，此时当
时，
；

当
时，同理可知，
．

由此可得
且
时，
．

综上可得对于一切的
，函数
在区间
上有1个零点，从而
在区间
上有
个零点，且这些零点为
，因此，所有这些零点的和为
．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18． 解：因为
，且
，所以
，……2分

把
代入得
，……3分

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，所以
．……5分

（2）假设数列
中存在任意三项
成等差数列．……6分

不妨设
，由于数列
单调递增，所以
，所以
，……9分

因此
，此时左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，……13分

所以数列
中不存在不同的三项，它们构成等差数列．……14分

19． 解：（1）设连续从甲口袋中摸出的4个球中，红球有
个，则白球有
个，由题设可得
，解得
，……4分由
，得
或