2014年高三诊断}生测试

数学(理)

注意事项：

一、选择题：本大题共l0小题；每小题5分，共50分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．

1．设i是虚数单位，复数
的虚
部为

A．-i B．-l C．i D．1

2．已知集合M={
}，集合N={
}，(e为自然对数的底数) 则
=

A．{
} B．{
} C．{
} D．

3．一个空间几何体的三视图如下左图所示，则该几何体的表面积为

A．48 B．48+8
C．32+8
D．80

4．某程序的框图如上右图所示，执行该程序，若输入的p为l6，则输出的n的值为

A．3 B．4 C．5 D．6

5．以q为公比的等比数列{

}中，a1>0，则“a11”的

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知不重合的直线m、l和平面
，且m
，
．给出下列命题：

①若
，则
；②若
，则
；③若
，则
；

④若
，则
，其中正确命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知圆O：
及以下三个函数：①
；②
；③
．其中图象能等分圆O面积的函数个数为

A．3 B．2 C．1 D．0

8．双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：
的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4
，则双曲线C1的实轴长为

A．6 B．2
C．
D．2

9．下列四个图象可能是函数
图象的是

10．已知函数
，且
，则当y≥l时，
的取值范围是

A．[
，
] B．[0，
] C．[
，
] D．[0，
]

二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．把正确答案填在答题卡的相应位置．

11．若实数x，y满足
，则
的最小值是

12．已知
，则
=

13．设
，则二项式
的展开式中含有
的项是

14．有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人
恰好对门的概率为

15．在实数集R中，我们定义的大小关系“>”为
全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集D={a|a
}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“
”．定义如下：对于任意两个向量a1=(x1，y1)，a2=(x2，y2)， a1
a2，当且仅当“
”或“
且
”．按上述定义的关系“
”，给出如下四个命题：

①若e1=(1,0)，e2=(0,1)，0=(0,0)，则e1
e2
0；

②a1
a2,a2
a3，则a1
a3；

③若a1
a2，则对于任意a
D,(a1+a)
(a2+a)；

④对于任意向量a
0，0=(0,0)，若a1
a2，则a
a1>a
a2．

其中真命题的序号为

三、解答题：本大
题共6个小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明
过程或推理步骤．[来源:学科网]

16．(本题满分l2分)

已知m=
，n=
，满足m
n =0．

(1)将y表示为x的函数
，并求
的最小正周期；

(2)已知a，b，c分别为
ABC的三个内角A，B，C对应的边长，
的最大值是
，且a=2，求b+c的取值范围．

17．(本题满分12分)

已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且
，an，Sn成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)数列{bn}满足
，
求证：
．

18．(本题满分l2分)

PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大。我国PM2．5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．

某市环保局从360天的市区PM2．5监测数据中，随机抽取l5天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．

(1)从这l5天的数据中任取3天的数据，记
表示空气质量达到一级的天数，求
的分布列；

(2)以这l5天的PM2．5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级．

19．(本题满分l2分)

已知平行
四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△BC
D，使得平面BC
D
平面ABD．

(1)求证：C'D
平面ABD；

(2)求直线BD与平面BEC'所成角的正弦值．

20．(本题满分l3分)

已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于
，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)己知点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，点A、B是椭
圆上不同的两个动点，且满足
APQ=
BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

21．(本题满分l4分)

已知函数
，其中
N*，a
R，e是自然对数的底数．

(1)求函数
的零点；

(2)若对任意
N*，
均有两个极值点，一个在区间(1，4)内，另一个在区间[1，4]外，求a的取值范围；

(3)已知k，m
N*，k

2014年高三诊断性测试

数学答案（理）

一、选择题： DCBBA BBDCA

二、填空题:

11.
12.
13．
14.
15．①②③

三、解答题:

16．解：（1）由
得
，………… 2分

即

，

所以
，其最小正周期为
.……………………… 6分

（2）由题意得
，

所以
，因为
，所以
． ……… 8分

[来源:学*科*网Z*X*X*K]

由正弦定理得
，
，

， ……………………… 10分

,
，
，[来源:学。科。网]

所以
的取值范围为
. ……………………………………… 12分

17.解(1)

成等差数列，∴
，……………… 1分

当
时，
，
，………………………………… 2分

当
时，
，
，

两式相减得：
，
， ………… 4分

所以数列
是首项为
，公比为2的等比数列，

. …………………………………………………… 6分

（2）

…………………… 10分

=
. …………………………………………… 12分

解：（1）∵
,
的可能值为0，1，2，3[来源:Z|xx|k.Com]

其分布列为

………………… 3分

0

1

2

3

















………………… 6分

（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为

一年中空气质量达到一级的天数为

则
～
, 所以
(天) ……………………11分

一年中空气质量达到一级的天数为144天 ……………………………… 12分

19. 证明：（1）平行四边形
中，
，
，
，

沿直线
将△
翻折成△

可知
，
，
，

即
，

． ………………………………………………… 2分

∵平面
⊥平面
，平面

平面
=
，

平面
，∴
平面
． ……………………………… 5分

（2）由（1）知
平面
，且
，

如图，以
为原点，建立空间直角坐标系
． …………………… 6分

则
，
，
，
．

∵
是线段
的中点，

∴
，
．

在平面
中，
，
，

设平面
法向量为
，

∴
，即
，

令
，得
，故
．………9分

设直线
与平面
所成角为
，则

． ……………………………… 11分

∴ 直线
与平面
所成角的正弦值为
． …………………… 12分

20.解:(1)设椭圆
的方程为

则
. 由
,得
，

∴椭圆C
的方程为
. ………………………………… 5分

(2) 当
时，
、
的斜率之和为0,设直线
的斜率为
,

则
的斜率为
,
的直线方程为
,

由
整理得

, ……………………… 9分

,

同理
的直线方程为
,

可得

∴
, ……………………………… 12分

,

所以
的斜率为定值
. …………………………………………… 13分

21.解：（1）
，

设
,

①当
时，
函数
有一个零点：
…………… 1分

②当
时，
函数
有两个零点：
………
2分

③当
时，
函数
有两个零点：
………… 3分

④当
时，
函数
有三个零点：

………………………………… 4分

（2）
…… 5分

设
，
的图
像是开口向下的抛物线.

由题意对任意

有两个不等实数根
，

且

则对任意

,即
, ………………………………………… 7分

又任意

关于
递增,
,

故

所以
的取值范围是
……………………………………………… 9分

（3）由(2)知, 存在

，又函数
在
上是单调函数，故函数
在
上是单调减函数, ………………… 10分

从而
即
…11分

所以

由
知
…………………………………13分

即对任意

故函数
在
上是减函数. ……………………………………14分 [来源:Zxxk.Com]