商丘市2014年高三第二次模拟考试

数学（文科）参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分） C A D A D A C B D B B C

二、填空题 (每小题5分，共20分)

（13）
； （14）
； （15）
； （16）①③④.

三、解答题

（17）解：当
时，
，得
.………………………………………………………2分

由
①

得
（
）②，

①－②，得
，即
（
），

∴
是以
为首项，公比为的等比数列，…………………………………6分

∴
是以
为首项，公比为
的等比数列，

∴
.…………………………………………………8分

由题意，得

，即
， …………………………………10分

∴的最大值为. …………………………………………………………………………12分

（18）解：(Ⅰ）
，∴ 某同学被抽到的概率为
.……………………………………2分

课外兴趣小组中男同学
（人），女同学（人）.………………………4分

(Ⅱ）把
名男同学和名女同学分别记为
，则选取两名同学的基本事件有

共
个，其中有一名女同学的有
个.……………………………………………6分

∴ 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
. …………………8分

(Ⅲ）
，
，………10分

，

.

因此，第二同学的实验更稳定. ……………………………………………………12分

（19）解：(Ⅰ）连结
，交
于点，连结
，

因为四边形
是矩形，则为
的中点.

又是
的中点，∴
∥
，

又
面
，
面
，

∴
∥平面
.…………………………………………………………………6分

(Ⅱ）∵
，是
的中点，

∴
.

又
面
，
面
，

∴
.

又
，∴
面
，………………………………………………9分

∵底面
是边长为的正三角形，

∴
，又
，

∴
.……………………………………………12分

（20）解： (Ⅰ）∵
，∴
，……………………………………………1分

∴
. …………………………………………………………2分

当
时，
；当
，或
时，
，

所以
在
上单调递减，在
和
上单调递增.……………4分

(Ⅱ）由
，得
，

即要满足
.…………………………………………………………6分

当
时，显然成立；当
时，即
， …………………………8分

记
，则
，

当
时，
；当
时，
，

∴
在
上递减，在
上递增，……………………………………………10分

∴
.

由题意，得
，∴
. ………………………………………………12分

（21）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为

由题意知
，
，
，

解得
，
，故椭圆的方程为
……………………………4分

（Ⅱ）由题意，设直线
的方程为

，

则点坐标为
，
中点的坐标为
．

由
得
. ………………………………6分

设点的坐标为
，则
．

所以
，
…………………………………………8分

因为点坐标为
，

当
时，点的坐标为
，点的坐标为
.

直线
轴，此时以
为直径的圆
与直线
相切.………9分

当
时，则直线
的斜率
.

所以直线
的方程为

点到直线
的距离

又因为
，所以

故以
为直径的圆与直线
相切．

综上得，以
为直径的圆与直线
相切.………………………………………12分

（22）解：（Ⅰ）∵
为圆
的切线,

又
为公共角，
，

. ………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）∵
为圆
的切线,
是过点
的割线,

.…………………………………………6分

又∵
，

又由（Ⅰ）知
…………………………8分

连接
,由
，得
.

∴
. …………………………………………10分

（23）解：（Ⅰ）
，

则的直角坐标方程为
，

即
. ………………………………………………………………4分

（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得
，

设点
对应的参数分别为
，则
，
，

…………………10分

（24）解：（Ⅰ）由
，得
，

∴
，∴
，∴
.…………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，

记
，

则
等价于

∵
.

即
的最小值为，故实数的取值范围是
.……………………………10分