2014届龙岩市高三毕业班第一次质量检查试卷

文科数学答案

一、选择题：1-5.BDDBC 6-10. CAACB 11-12.AD

二、填空题： 13． 14．
15．
16．

三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

考查意图：本小题主要考查偶函数的性质、数列通项公式的求法及数列前项和求法中的分组求和、公式求和法，考查了学生运算求解能力和函数与方程思想、分类与整合思想等．

解：（Ⅰ）∵函数
是偶函数，∴
…………………………………2分

∴

∵点
在函数
的图象上，∴
……………………………………3分

当
时，
………………………………………4分

当
时，
也符合上式 ………………………………………………………5分

所以
……………………………………………………………………6分

（Ⅱ）

所以
…………………12分

18．（本小题满分12分）

考查意图：本小题主要考查直线和直线、直线和平面的垂直关系、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查了数形结合和化归与转化的数学思想方法．满分12分．

（Ⅰ）证明：∵在直三棱柱
中，
平面

∴
，即
……………………………………………………………2分

又∵
，
，∴
平面
…………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

∵
，
，∴

∵、分别是棱
、
的中点，
，

∴
，
………………………………………………8分

又∵
平面
，∴

∴三棱锥
的体积为
……………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

考查意图：本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图、众数及中位数、概率等相关基础知识，考查运算求解能力、推理能力，考查了函数与方程、数形结合、转化与化归、必然与或然的数学思想方法．满分12分．

解：（I）
………………………………………1分

又∵
……………………………………………………………3分

∴
…………………………………………4分

（II）众数为12 ………………………………………6分

（III）参加次数不少于18次的学生共有：
人

设在
内的4人为：A、B、C、D，在
内的2人为、，在这6人中

任取2人共有：AB、AC、AD、A、A、BC、BD、B、B、CD、C、C、D、D、共15种，





8分

其中至少一人参加锻炼的次数在区间
内A、A、B、B、C、C、D、D、共9种． ……………………………………………10分

答：所求的概率为
……………………………………………………………12分

20． （本小题满分12分）

考查意图：本小题主要考查三角函数的图像及性质、解三角形、重要不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查了数形结合、函数与方程和化归与转化的数学思想方法．满分12分．

（Ⅰ）解：依题意，
的周期为
， ………………………………………………1分

则
………………………………………………………………………………2分

∴

令
，得
……………………………………………4分

∴
的对称中心为
……………………………………5分

（Ⅱ）（法一）在
中，由
，得

…………………………6分

由正弦定理
得

，
………………7分

∴
的面积为
……………………………………8分

……11分

∵
，∴
，∴当
时，

∴
的面积的最大值为
．…………………………………………12分

（法二）在
中，由
，得

……………………………………6分

由余弦定理得
，……………………………………7分

∴
……………………………………………………………………8分

∵
（当且仅当
时，等号成立）

∴
，∴
…………………………………………………………10分

∴
……………………………11分

（当且仅当
时等号成立）

∴
的面积的最大值为
．……………………………………………………12分

21．（本小题满分12分）

命题意图：本题主要考查椭圆的有关计算、性质以及探究性问题的解法，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．满分12分.

解：（Ⅰ）依题意，
，∴

∴椭圆方程为
．…………………………………………………………4分

（Ⅱ）（法一）∵点在直线
上，∴可设点

①当直线
垂直于轴时，可求

∴
，

∴
，此时
…………………………………………………………6分

②当直线
的斜率存在时，设斜率为，则直线
的方程为
，代入椭圆方程
，整理得

设
，
，则
，
…………………………7分

∴

…10分

∴
，∴
………………………………………………………………11分

综上知，存在实数
，使
恒成立。………………………………12分

（法二）设过点
的直线方程为
，……………………………5分

代入椭圆方程
，整理得
……………………6分

设
，
，则
，
……………………7分

设点
，

则

…………………………………………………………10分

又∵
，……………………………………………………………………11分

∴存在
，使
恒成立．……………………………………12分

22．（本小题满分14分）

考查意图：本小题主要考查函数导数的几何意义、函数的单调性与极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析问题解决问题的能力，考查了分类讨论、数形结合、函数与方程、化归转化的数学思想方法．满分14分．

（Ⅰ）当
时，
，
…………………………………1分

∵点
在函数图象上

∴在点
的切线斜率为
………………………………………2分

∴所求切线方程为
. ………………………………………3分

（Ⅱ）∵

∴
…………4分

令

当
时，由
，则
，解得
…………5分

当
时，
，
恒成立，此时
，函数
在
上单调递减；

……6分

②当
时，

时，
，此时
，函数
单调递减；

时，
，此时
，函数
单调递增；

时，
，此时
，函数
单调递减； …………7分

③当
时，由于

时，
，此时
，函数
单调递增；

时，
，此时
，函数
单调递减；

综上所述：

当
时，函数
在
上单调递减；

当
时，函数
在
单调递减，在
单调递增，在
上单调递减；

当
时，函数
在
单调递增，在
单调递减． ………9分

（Ⅲ）由已知得
，