河北省石家庄市2014届高中毕业班教学质量检测（二）

数学（理）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）

1． 已知全集
=

A．{1，2} B．{1，3} C．{3} D．{1，2，3}

2．已知
为虚数单位，右图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数
的点是

A．M B．N C．P D．Q

3．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数
,则使关

于
的一元二次方程
无实根的概率为

A． B．

C． D．

4．等差数列
的公差为1，随机变量
等可能

的取值
为，则方差D（
）为

A．  B．

C．
D．

5．阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是

A．计算数列
前5项的和

B．计算数列
前6项的和

C．计算数列
前5项的和

D．计算数列
前6项的和

6．已知实数
满足，如果目标函数
的最小值为-2， 则实数m的值为

A．0 B．2

C．4 D．8

7．已知函数
的图象

A．关于直线
对称 B．关于点
对称

C．最小正周期为T=2
D．在区间（
）上为减函数

8．点A, B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2 ,若四面体ABCD体积的最大值为 ,则该球的表面积为

A． B．8( C．9( D．12(

9．已知两定点A（-2，0）和B（2，0）,动点
在直线
:
上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为

A．
B．
C．
D．

10．定义在区间[0,1]上的函数
的图象如右图所示，以
、

、
为顶点的(ABC的面积记为函数
,则函数

的导函数
的大致图象为

A．2014 B．2015 C．5235 D．5325

11．已知函数
其中e为自然对数的底数，若关于x的方程
有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为

A．（-
，0） B．（-
，0）
（0，1）

C．（0，1） D．（0，1）
（1，+
）

12．已知双曲线
的左、右交点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为

A．a,a B．a,
C．
D．

二、填空题：（每小题5分，共20分．）

13．
展开式中的常数项为 .

14．若a，b是两个互相垂直的单位向量，则向量
在向量b方向上的投影为 .

15．如右图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ．

16．定义
表示实数a，b中的较大的，已知数列{
}满足
若a2014=2a，记数列{
}的前n和为Sn，则S2014的值为 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

在(ABC中，角A、B、C 的对边长分别为
,且满足

（Ⅰ）求角B的值；

（Ⅱ）若
,求(ABC的面积．

18．（本小题满分12分）

某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：

一次购物款（单位：元）

[0,50）

[50,100）

[100,150）

[150,200）

[200,+∞）



顾客人数

m

20

30

n

10



 统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）．（注：视频率为概率） （Ⅰ）试确定m，n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；（Ⅱ）现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数
的分布列与数学期望.

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P-ABC中，
面
, ∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M为PB的中点，N在BC上，且BN=
BC．

（Ⅰ）求证：BN⊥AB；

（Ⅱ）求二面角M—AN—P的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知动圆C过定点M（0，2），且在x轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线 C．

（Ⅰ）求曲线C方程；

（Ⅱ）点A为直线
：
上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P、Q，(APQ面积的最小值及此时点A的坐标．

21．（本题满分12分）

已知
其中e为自然对数的底数。

（1）若
的取值范围；

（2）求证：当

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．

（Ⅰ）求证：
、
、
、
四点共圆；

（Ⅱ）若AC=2，AF=2 ,求
外接圆的半径．

23．（本小题满分10分）极坐标与参数方程

已知直线
的参数方程为：

，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线C的参数方程；

（Ⅱ）当
时，求直线
与曲线C交点的极坐标．

24．（本小题满分10）不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）若
的解集包含
，求
的取值范围．

2014年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二)

高三数学（理科答案）

一、选择题：

1-5.CDCBD 6-10. DACBD 11-12BA

二、填空题：

13. ____-160_________

14. -  .

15． 9

16． 5235 .

三、解答题： （解答题按步骤给分，本答案只给出一或两种答案，学生除标准答案的其他解法，参照标准酌情设定,且只给整数分）

17. 解：由已知得
，

，
，∴
，

在
，由正弦定理得
，…………2分

∴
；……………………………………………4分

，
，∴
，

在
，由正弦定理得，
，……………6分

∴
；……………………………………8分

在
，
，由余弦定理得

……………10分

故两小岛间的距离为
海里.

…………………………………12分

18. 解：（Ⅰ）由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有
，
；………………………………………………2分

.……………………………………3分

该商场每日应准备纪念品的数量大约为
件.……………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率

……………………5分

故4人购物获得纪念品的人数
服从二项分布

,

,

的分布列为

0

1

2

3

4



















……………………11分（此部分可按
的取值，细化为1分，1分的给分）

数学期望为

或由
.…………………………………………12分

19.解：（Ⅰ）不妨设
=1，又
，∴在△ABC中，

，∴
，

则
=
，…………………………………1分

所以
,又
,∴
,

且
也为等腰三角形.……………………………………………3分

（法一）取AB中点Q，连接MQ、NQ，∴
，

∵
面
，∴
，∴
，…………5分

所以AB⊥平面MNQ，

又MN
平面MNQ

∴AB⊥MN…………………………………6分

（法二）
，则
,以A为坐标原点，
的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

可得
，
，
,

,…………………………………4分

∴
,

则
，所以
．…………6分

（ⅡⅠ）同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，可知

，
，面
的法向量可取为
，

…………………………………8分

设面
的法向量为
，
，
，

则
即
可取
，………………10分

∴
=
，

故二面角
的余弦值为
．…………………12分

20．解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为
，根据题意得

，……………………2分

化简得
. …………………………………4分

（Ⅱ）解法一：设直线
的方程为
，

由
消去
得

设
，则
，且
……………6分

以点
为切点的切线的斜率为
，其切线方程为

即

同理过点
的切线的方程为

设两条切线的交点为
在直线
上，

，解得
，即

则：
，即
…………………………………8分

代入

到直线
的距离为
………………………10分

当
时，
最小，其最小值为
，此时点
的坐标为
. …………12分

解法二：设
在直线
上，点
在抛物线
上，

则以点
为切点的切线的斜率为
，其切线方程为

即

同理以点
为切点的方程为
………………………………6分

设两条切线的均过点
，则
，

点
的坐标均满足方程

，即直线
的方程为：
……………8分

代入抛物线方程
消去
可得：

到直线
的距离为
…………………………10分

当
时，
最小，其最小值为
，此时点
的坐标为
.…………12分

21． 解：（1）
．

①当
时，
对
恒成立，即
在
为单调递增函数；

又
，即
对
恒成立．…………………………1分

②当
时，令
，得
．

当
时，
，
单调递减；

当
时，
，
单调递增．

若
对任意
恒成立，则只需
…………………………3分

又
，
，即
在区间
上单调递减；又注意到
。故
在区间
上恒成立.即
时,满足
的
不存在．

综上：
……………………