唐山市2013—2014学年度高三年级第一次模拟考试

理科数学参考答案

因此cosA－cosC＝． …12分

（18）解：

（Ⅰ）由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1，2，3．

从抽取的6个零件中任意取出2个，记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工点”为A，事件“其中至少有一个是乙车床加工的”为B，则

P(A)＝，P(AB)＝，

所求概率为P(B|A)＝＝＝0.7． …5分

（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．

P(X＝i)＝，i＝0，1，2．

X的分布列为

X

0

1

2



P

0.2

0.6

0.2



…10分

X的期望为

E(x)＝0×0.2＋1×0.6＋2×0.2＝1． …12分

（19）解：

（Ⅰ）因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC．

又BC⊥AC，所以BC⊥平面A1ACC1，所以AC1⊥BC． …2分

因为AA1＝AC，所以四边形A1ACC1是菱形，所以AC1⊥A1C．

所以AC1⊥平面A1BC，

所以A1B⊥AC1． …5分



（Ⅱ）以OC为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

则A(0，－1，0)，B(2，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，2，)．

＝(2，2，0)，＝＝(0，1，)，

设m＝(x，y，z)是面ABB1的一个法向量，则m·＝m·＝0，

即取m＝(，－，1)．

同理面CBC1的一个法向量为n＝(0，－，1)． …10分

因为cos(m，n(＝＝．

所以二面角A-BB1-C的余弦值． …12分

（20）解：

（Ⅰ）圆A的圆心为A(－1，0)，半径等于2．

由已知|MB|＝|MP|，于是|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2，

故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，a＝，c＝1，b＝1，

曲线Γ的方程为＋y2＝1． …5分

（Ⅱ）由cos∠BAP＝，|AP|＝2，得P(，)． …8分

于是直线AP方程为y＝(x＋1)．

由解得5x2＋2x－7＝0，x1＝1，x2＝－．

由于点M在线段AP上，所以点M坐标为(1，)． …12分

（21）解：

（Ⅰ）f((x)＝－xex．

当x∈(－∞，0)时，f((x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(0，＋∞)时，f((x)＜0，f(x)单调递减．

所以f(x)的最大值为f(0)＝0． …4分

（Ⅱ）g(x)＝，g((x)＝．

设h(x)＝－(x2－x＋1)ex＋1，则h((x)＝－x(x＋1)ex．

当x∈(－∞，－1)时，h((x)＜0，h(x)单调递减；

当x∈(－1，0)时，h((x)＞0，h(x)单调递增；

当x∈(0，＋∞)时，h((x)＜0，h(x)单调递减． …7分

又h(－2)＝1－＞0，h(－1)＝1－＜0，h(0)＝0，

所以h(x)在(－2，－1)有一零点t．

当x∈(－∞，t)时，g((x)＞0，g(x)单调递增；

当x∈(t，0)时，g((x)＜0，g(x)单调递减． …10分

由（Ⅰ）知，当x∈(－∞，0)时，g(x)＞0；当x∈(0，＋∞)时，g(x)＜0．

因此g(x)有最大值g(t)，且－2＜t＜－1． …12分

（22）解：

（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由射影定理得EA2＝ED·EO．

由切割线定理得EA2＝EB·EC，故ED·EO＝EB·EC，即＝，

又∠OEC＝∠OEC，所以△BDE∽△OCE，所以∠EDB＝∠OCE．

因此O，D，B，C四点共圆． …6分



（Ⅱ）连结OB．因为∠OEC＋∠OCB＋∠COE＝180(，结合（Ⅰ）得

∠OEC＝180(－∠OCB－∠COE＝180(－∠OBC－∠DBE

＝180(－∠OBC－(180(－∠DBC)＝∠DBC－∠ODC＝20(． …10分

（23）解：

（Ⅰ）因为ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，所以圆C的直角坐标方程为

x2＋y2－4y＋2＝0． …4分

（Ⅱ）平移直线l后，所得直线l(的（t为参数）．

2t2＋2(h－12)t＋(h－10)2＋2＝0．

因为l(与圆C相切，所以

Δ＝4(h－12)2－8[(h－10)2＋2]＝0，即h2－16h＋60＝0，

解得h＝6或h＝10． …10分

（24）解：

（Ⅰ）g(x)≤5(|2x－1|≤5(－5≤2x－1≤5(－2≤x≤3；

f(x)≤6(|2x－a|≤6－a(a－6≤2x－a≤6－a(a－3≤x≤3．

依题意有，a－3≤－2，a≤1．

故a的最大值为1． …6分

（Ⅱ）f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a≥|a－1|＋a，

当且仅当(2x－a)(2x－1)≥0时等号成立．

解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)． …10分