唐山市2013—2014学年度高三年级第一次模拟考试

文科数学参考答案

选择题：

A卷：ABDCC DBAAB DC

B卷：DCABB CDADA CB

二、填空题：

（13）(－∞，1] （14）6 （15） （16）8

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）由4bsinA＝a，根据正弦定理得4sinBsinA＝sinA，

所以sinB＝． …4分

（Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得

sinA＋sinC＝． ①

设cosA－cosC＝x， ②

①2＋②2，得2－2cos(A＋C)＝＋x2． ③ …7分

又a＜b＜c，A＜B＜C，所以0(＜B＜90(，cosA＞cosC，

故cos(A＋C)＝－cosB＝－． …10分

代入③式得x2＝．

因此cosA－cosC＝． …12分

（18）解：

（Ⅰ）由抽样方法可知，

从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1，2，3． …3分

（Ⅱ）即抽取的6个零件为a1，b1，b2，c1，c2，c3．

事件“已知这两个零件都不是甲车床加工点”的可能结果为

(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，

(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种可能； …8分

事件“其中至少有一个是乙车床加工的”的可能结果为

(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)， (b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)， (b2，c3)，

共7种可能． …10分

故所求概率为P＝0.7． …12分

（19）解：

（Ⅰ）因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC．

又BC⊥AC，所以BC⊥平面A1ACC1，所以AC1⊥BC． …2分

因为AA1＝AC，所以四边形A1ACC1是菱形，所以AC1⊥A1C．

所以AC1⊥平面A1BC． …6分



（Ⅱ）设三棱锥C-A1AB的高为h．

由（Ⅰ）可知，三棱锥A-A1BC的高为AC1＝．

因为VC-A1AB＝VA-A1BC，即S△A1ABh＝S△A1BC·．

在△A1AB中，AB＝A1B＝2，AA1＝2，所以S△A1AB＝． …10分

在△A1BC中，BC＝A1C＝2，∠BCA1＝90(，所以S△A1BC＝BC·A1C＝2．

所以h＝． …12分

（20）解：

（Ⅰ）圆A的圆心为A(－1，0)，半径等于2．

由已知|MB|＝|MP|，于是|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2，

故曲线Γ是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，a＝，c＝1，b＝1，

曲线Γ的方程为＋y2＝1． …5分

（Ⅱ）由cos∠BAP＝，|AP|＝2，得P(，)． …8分

于是直线AP方程为y＝(x＋1)．

由解得5x2＋2x－7＝0，x1＝1，x2＝－．

由于点M在线段AP上，所以点M坐标为(1，)． …12分

（21）解：

（Ⅰ）f((x)＝－xex．

当x∈(－∞，0)时，f((x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(0，＋∞)时，f((x)＜0，f(x)单调递减．

所以f(x)的最大值为f(0)＝0． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＞0时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1． …7分

当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于设f(x)＞x．

设h(x)＝f(x)－x，则h((x)＝－xex－1．

当x∈(－1，－0)时，0＜－x＜1，0＜ex＜1，则0＜－xex＜1，

从而当x∈(－1，0)时，h((x)＜0，h(x)在(－1，0]单调递减．

当－1＜x＜0时，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1．

综上，总有g(x)＜1． …12分

（22）解：

（Ⅰ）连结OA，则OA⊥EA．由射影定理得EA2＝ED·EO．

由切割线定理得EA2＝EB·EC，故ED·EO＝EB·EC，即＝，

又∠OEC＝∠OEC，所以△BDE∽△OCE，所以∠EDB＝∠OCE．

因此O，D，B，C四点共圆． …6分



（Ⅱ）连结OB．因为∠OEC＋∠OCB＋∠COE＝180(，结合（Ⅰ）得

∠OEC＝180(－∠OCB－∠COE＝180(－∠OBC－∠DBE

＝180(－∠OBC－(180(－∠DBC)＝∠DBC－∠ODC＝20(． …10分