2014年广州市普通高中毕业班综合测试一

文科数学

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.函数
的定义域为（ ）

A.
B.
C.
D.

2.已知是虚数单位，若
，则实数的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

3.在
中，角、、
所对的边分别为、
、，若
，则
为（ ）

A.
B.
C.
D.

4.圆
关于直线
对称的圆的方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

5.已知
，则函数
的最小值为（ ）

A.
B.
C. D.

6.函数
的图象大致是（ ）

7.已知非空集合
和
，规定
，那么
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

8.任取实数、
，则、
满足
的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

9.设
、
是两个非零向量，则使
成立的一个必要非充分的条件是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.在数列
中，已知
，
，记
为数列
的前项和，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，，每小题5分，满分20分）

11.执行如图1所示的程序框图，若输出
，则输入
的值为 .

12.一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是 .

13.由空间向量
，
构成的向量集合
，则向量
的模
的最小值为 .

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线
与曲线
相交于、两点，若
，则实数的值为 .

15.（几何证明选讲选做题）如图3，
是圆
的切线，切点为点
，直线
与圆
交于、两点，
的角平分线交弦
、
于、两点，已知
，
，则
的值为 .

三、解答题 （本大题共6小题，满分80分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.（本小题满分12分）已知某种同型号的
瓶饮料中有瓶已过了保质期.

（1）从
瓶饮料中任意抽取瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率；

（2）从
瓶饮料中随机抽取瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率.

17.（本小题满分12分）已知函数
的图象经过点
.

（1）求实数的值；

（2）设
，求函数
的最小正周期与单调递增区间.

18.（本小题满分14分）如图4，在棱长为的正方体
中，点是棱
的中点，点在棱
上，且满足
.

（1）求证：
；

（2）在棱
上确定一点
，使、、
、四点共面，并求此时
的长；

（3）求几何体
的体积.

19.（本小题满分14分）已知等差数列
的首项为
，公差为，数列
满足
，
.

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）记
，求数列
的前项和
.

（注：
表示与
的最大值.）

20.（本小题满分14分）已知函数
.

（1）求函数
的极值；

（2）定义：若函数
在区间
上的取值范围为
，则称区间
为函数
的“域同区间”.试问函数
在
上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分14分）已知双曲线
的中心为原点
，左、右焦点分别为
、
，离心率为
，点是直线
上任意一点，点
在双曲线上，且满足
.

（1）求实数的值；

（2）证明：直线
与直线
的斜率之积是定值；

（3）若点的纵坐标为，过点作动直线
与双曲线右支交于不同的两点
、
，在线段
上去异于点
、
的点
，满足
，证明点
恒在一条定直线上.