绝密★启用前 试卷类型：A

2013---2014年汕头市高三年级期末调研考试

数学（理科） 2014.1

本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案
，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅
笔填涂选做题的题号对应的信息点，再
做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．

参考公式：

① 体积公式：
，其中
分别是体积、底面积和高；

② 独立性检验中的随机变量：
，其中
为样本容量．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合
，
，且
，则
等于

A.
B.
C.
D.

2．下列给出的定义在R上的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是

A．
B.
C.
D.

3. 已知
是不共线向量，
，
，当
∥
时，实数
等于[来源:学|科|网][来源:学#科#网Z#X#X#K]

A .
B.0 C.
D .

[来源:Z_xx_k.Com]

4. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，

其正视 图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为( )

A. 8 B. 4 C.
D.

5．已知等比数列
的公比为2，且
，则
的值为 ( )

A．10 B．15 C．20 D．25

6．已知函数①
，②
，则下列结论正确的是（　　）

A．两个函数的图象均关于点
成中心对称

B．两个函数的图象均关于直线
对称

C．两个函数在区间
上都是单调递增函数

D．可以将函数②的图像向左平移
个单位得到函数①的图像

7．若实数a,b满足
且
,则称a与b互补,记
,

那么
是a与b互补的（　　）

A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件

C．充要条件 D．即不充分也不必要的条件

8. 两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢

局次的不同视为不同情形)共有（　　）

A．10种 B．15种 C．20种 D．30种

二、填空题：（本大共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡的相应位置．）

（一）必做题（9-13题）

9.复数
的虚部为___________________.

10.计算
.

11．定义某种运算
，
的运算原理如右图所示.

设
.则
___ ___.

12．设
的展开式中含有
的项于 .

13．设
实数
，
满足约束条件
，则目标函数
的最大值

为 .

（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）

14. (坐标系与参数方程选做题)如图所示的极坐标系中,以
为圆心,半径
的圆
的极坐标方程是 .

15．（几何证明选讲选做题）已知
是圆
的切线，切点为
，
．
是圆
的直径，
与圆
交于点
，
， 则圆
的半径
．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．(本小题满分12分) 已知数列
满足
，
，数列
的前
项和为
，且数列
,
,
, …….
……是首项和公比都为
的等比数列。

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）设
数列
的前
项和为
，求
的值。

17．(本小题满分12分)如图,在直角坐标系
中,角
的顶点是原点,始边与
轴正半轴重

合,终边交单位圆于点
,且
.将角
的终边按逆时针方向旋转
,交单位圆于

点
.记
.(Ⅰ)若
,求
; (Ⅱ)分别过
作
轴的垂线,垂足

依次为
.记△
的面积为
,△
的面积为
.若

,求角
的值.

18．已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△
，使得平面
⊥平面ABD．

（Ⅰ）求证：
平面ABD；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

19．2013年2月20日,针对房价过高,国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”).为此,记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查,随机抽取了60人,作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图),同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表):

月收入(百元)

赞成人数



[15,25)

8



[25,35)

7



[35,45)

10



[45,55)

6



[55,65)

2



[65,75)

1





(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入;

(Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查,记选中的6人中不赞成“
国五条”的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.

20．（本小题满分14分）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1?600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1?000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数) ．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1?270元. (每平方米平均综合费用＝)．

（1）求k的值；

（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？

21．(本小题满分14分)设
为实数，函数
的导函数为

(Ⅰ) 求函数
的解析式；

（Ⅱ）求函数
的最小值；

（Ⅲ）当
时，求
函数
的单调递增区间。

2013—2014学年(上)期末统考理科数学参考答案

选择题：CBDCA，CCB

8、解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有
种情形;当比分为3:2时,共有
种情形;总共有2+6+12=20种,选B.

填空题：9、
， 10、 0 ， 11、 -2 ， 12、
，(若写为-192，

给3分)，13、 4 ， 14、
， 15、
，

解答题：

16、（本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式等基本知识，简单的数列求和方法等，属于容易的
题型）

解：(Ⅰ)由题意知：
，
，

所以数列
是以0为首项，公差等于1的等差数列，

所以
；…………………………(3分)

又由题意可得：
，所以
…………………………(5分)

所以（1）当
时，

（2）当
时，

检验
时也符合，所以
…………………………(7分)

（Ⅱ）由(Ⅰ)知：
…………………………(9分)

所以当
时，
…………………………(10分)

所以

…(12分)

17、（本题主要考查三角函数的定义与三角恒等变形，求值以及运用三角函数的知识解决问题的能力，属于中档题）

(Ⅰ)解:由三角函数定义,得
,
…………………(3分)

因为
,
,

所以
…………………(4分)

所以
…………………(7分)

(Ⅱ)解:依题意得
,
.

所以
, …………………(8分)

……………(9分)

依题意得
,

整理得
……………(10分)

因为
, 所以
, [来源:Z&xx&k.Com]

所以
, 即
……………(12分)

(注意：如果学生没有通过合理的运算得到正确的结果，而是自己估计所得到结果，给3分)

18、证明：证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，

沿直线BD将△BCD翻折成△

可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，

即
，

． ………………2分

∵平面
⊥平面
，平面

平面
=

，
平面
，

∴
平面
． ………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
平面ABD，且
，

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系

． ………………（6分）

则
，
，
，
．

∵E是线段AD的中点，

∴
，
．

在平面
中，
，
，

设平面
法向量为
，

∴
，即
，

令
，得
，故
．………………（9分）

设直线
与平面
所成角为
，则

．………………（10分）

∴ 直线
与平面
所成角的正弦值为
． ………………（11分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面
的法向量为
，

而平面
的法向量为
，………………（12分）

∴
， ………………（13分）

因为二面角
为锐角，

所以二面角
的余弦值为
． ………………（14分）

19、解：（Ⅰ）这
60人的月平均收入为：

（百元）（5分）

（Ⅱ）根据频率分布直方图可知道：

………………（7分）

……（12分）

(每算对一个一分，正确给出x的取值1分，共5分)

………………（14分）

（正确写出分布列1分，正确算出期望值1分）

20、解：（Ⅰ）当每栋楼建为5层时,那么每栋楼的建筑费用为：

………………（1分）

所有10栋楼的建筑总费用为：
………………（2分）

所有楼房的建筑总面积为
（温馨提示：不要急于计算）……（3分）

所以该小区楼房每平方米的平均综合费用为

所以
………………（6分）

（Ⅱ）假设将这10栋楼房都建设为n 层，那么我们需要弄清楚以下几个问题：

每栋楼的建筑费用：

………………（8分）

这10栋楼的总建筑面积10000n平方米………………（9分）

所以该小区楼房每平方米的平均综合费用为：

（12分）

当且仅当
(
，即
时平均综合费用最小，最小值为1250元[来源:学科网ZXXK]

………（14分）

21、解：（Ⅰ）可求得
………（2分）

（Ⅱ）由于
………（3分）

当