上海市2013—2014学年度高考数学模拟试卷

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.函数
的定义域为

2.复数
满足
=
，则
=

3.底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为 m2

4.某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产品进行检测，则3个产品中至多有1个次品的概率为

5.若非零向量
满足
,则
夹角的余弦值为_______

6.已知圆
：
，直线
：
，设圆
上到直线
的距离等于1的点的个数为
，则

7.已知
是定义在
上的奇函数.当
时，
，则不等式
的解集用区间表示为

8.已知
为等比数列，其前
项和为
，且

，则数列
的通项公式为

9.设
，若对于任意的
，都有
满足方程
，这时
的取值范围为_____________

10.已知
是抛物线
的焦点，
是抛物线上两点，线段
的中点为
，则
的面积为

11.如图,已知树顶A离地面
米，树上另一点B离地面
米，

某人在离地面
米的C处看此树，则该人离此树 米时，

看A、B的视角最大

12.将函数
（
）的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，若
在
上为增函数，则
的最大值为

13.如图，矩形
的一边
在
轴上，另外两个顶点
在函数
的图象上.若点
的坐标
，记矩形
的周长为
，数列
的前

项和为
，则
=

14.已知定义域为
的偶函数
，对于任意
，满足

。且当
时
。令
，
，其中
，函数
则方程
的解的个数为 （结果用
表示）

二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15. ?记max{a，b}为a和b两数中的较大数．设函数
和
的定义域都是R，则“
和
都是偶函数”是“函数
为偶函数”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件.

C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.

16.将函数
的图象向左平移
个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的一条对称轴是

A．
B.
C．
D.

17.如图，偶函数
的图象形如字母M，奇函数
的图象形如字母N，若方程：


的实数根的个数分别为a、b、c、d，则
=

A．27 B．30 C．33 D．36

18.已知
表示大于
的最小整数，例如
．下列命题:

①函数
的值域是
；

②若
是等差数列，则
也是等差数列；

③若
是等比数列，则
也是等比数列；

④若
，则方程
有
个根.

其中正确的是

A.②④ B.③④ C.①③ D.①④

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）

如图，在三棱锥
中，侧面
与侧面
均为等边三角形，
，
为
中点．

（1）证明：
平面
；

（2）求二面角
的余弦值．

20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

已知
分别在射线
（不含端点
）上运动，
，在
中，角
、
、
所对的边分别是
、
、
．

（1）若
、
、
依次成等差数列，且公差为2．求
的值；

（2）若
，
，试用
表示
的周长，并求周长的最大值．

21.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

给定数列
.对
,该数列前
项的最大值记为
,后
项
的最小值记为
,
.

(1)设
(
)是公比大于1的等比数列,且
.证明:
,
,...,
是等比数列

(2)设
,
,...,
是公差大于0的等差数列,且
,证明:
,
,...,
是等差
数列

22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C长轴的右端点到其右焦点的距离为
．

求椭圆C的方程

（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且
．

求证：原点O到直线AB的距离为定值

(3)在（2）的条件下，求AB的最小值

23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

对于函数
，如果存在实数
使得
，那么称
为
的生成函数.

（1）下面给出两组函数，
是否分别为
的生成函数？并说明理由；

第一组：
；

第二组：
；

（2）设
，生成函数
.若不等式

在
上有解，求实数
的取值范围；

（3）设
，取
，生成函数
图像的最低点坐标为
. 若对于任意正实数
且
.试问是否存在最大的常数
，使
恒成立？如果存在，求出这个
的值；如果不存在，请说明理由.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.
2. 5 3.
4.
5.

6. 4 7.
8.

9.

10. 2 11. 6 12. 2 13.
14.

二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15. A 16.C 17. B 18.D

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）

（1）由题设


，连结
，
为等腰直角三角形，所以

，且
，又
为等腰三角形，

，且
，从而
． 所

以
为直角三角形，
．又
．

所以
平面
．

（2）取
中点
，连结
，由（1）知
，

得
．
为二面角
的平面角．

由
得
平面
．

所以
，又
，故
．所以二面角
的余弦值为

20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

（1）

、
、
成等差，且公差为2，

、
. 又

，
，

，

，

恒等变形得
，解得
或
.又

，

.

在
中，

，

，
，
.

的周长

，

又

，

,

当
即
时，
取得最大值
．

21.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

(1)因为
,公比
,所以
是递增数列.

因此,对
,
,