广东省“十二校”2014届高三第二次联考

数学文试题

2014.2

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设
，若
（
为虚数单位）为正实数，则
( )

A．2 B．1 C．0 D．

2．已知
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 下列命题中的假命题是（ ）

A．
B．“
”是“
”的充分不必要条件[来源:

C．
D．若
为假命题，则
、
均为假命题

4. 若直线
不平行于平面
，且
，则( )

内的所有直线与
异面 B.
内存在唯一的直线与
平行

C.
内不存在与
平行的直线 D.
内的直线与
都相交

5．在等差数列
中，
，则
的值是（ ）

A．24 B． 48 C．96 D．无法确定

6. 某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的值是（ ）

A．63 B．31 C．27 D．15

7．动圆
经过双曲线
左焦点且与直线
相切，

则圆心
的轨迹方程是（ ） 图1

A．
B．
C．
D．

8.
是
所在的平面内的一点，且满足（
－
）·（
+
－2
）= 0，则
的形状一定为（ ）

A．正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形

9.已知平面直角坐标系
上的区域
由不等式组
给定，若
为
上的动点，点
，则
的最大值为 ( )

A. 6 B.
C .4 D. 2

10. 已知
是函数
的零点，若
，则
的值满足（ ）

A．
B．
C．
D．
的符号不能确定

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．

11. 某单位有200名职工，现用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是

12．在
中，
、
、
分别是角A、B、C所对的边，
，则
的面积S= ______．

13. 已知实数
，函数
，若
，则
的值为________.

14、（坐标系与参数方程选做题） 已知点P是曲线
为参数，
上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为
，则点
的直角坐标为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图2，
和
相交于
两点，过
作两圆的切线分别交两圆于
、
两点，连接
、
，已知
，
，则
．

图2

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

16（本小题满分12分）.

已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期和值域；

（2）若函数
的图象过点
，
.求
的值．

17（本小题满分12分）

为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了

若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将

成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;

……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如

图3所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，

且第二组的频数为8.

（1）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在

[16，17）内的人数； 图3

（2）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；

（3）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.[来

18（本小题满分14分）

一个几何体是由圆柱
和三棱锥
组合而成，点
、
、
在圆
的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图4所示，其中
，
，
，
．

（1）求证：
；

（2）求三棱锥
的体积．

图4

19（本小题满分14分）

已知数列
（常数
），其前
项和为

（
）

（1）求数列
的首项
，并判断
是否为等差数列，若是求其通项公式，不是，说明理由；

（2）令
的前n项和，求证：

20 (本小题满分14分)

如图5，椭圆
的左焦点为
，右焦点为
，过
的直线交椭圆于
两点，
的周长为8，且
面积最大时，
为正三角形．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设动直线
与椭圆
有且只有一个公共点
，且与直线
相交于点
，

证明：点
在以
为直径的圆上。

21（本小题满分14分）

若函数
在
上为增函数（
为常数），则称
为区间
上的“一阶比增函数”，
为
的一阶比增区间.

(1) 若
是
上的“一阶比增函数”，求实数
的取值范围；

(2) 若
(
，
为常数)，且
有唯一的零点，求
的“一阶比增区间”；

(3)若
是
上的“一阶比增函数”，求证：
，
.