河北省唐山一中2014届高三下学期开学调研试题

数学（文）

说明：

1．考试时间120分钟，满分150分。2．将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)

一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项正确.）

1．已知复数
，
是
的共轭复数，且
则a、b的值分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知全集
,集合
, 若
，则
等于（ ）

A.
B.
C.
或
D.
或

3.已知命题
，命题
，则( )

A.命题
是假命题 B.命题
是真命题

C.命题
是真命题 D.命题
是假命题

4.已知等差数列
中，
, 则
的值是（ ）

A． 15 B．30 C．31 D．64

5．已知
∈（
,
），sin
=
,则tan（
）等于（ ）

A． －7 B． －
C． 7 D．

6. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，

则该四棱锥的体积等于（ ）

A．
B．

C．
D．

7. 实数
满足条件
,则
的最小值为（ ）

A
．16 B．4 C．1 D．

8.程序框图如图所示：

如果上述程序运行的结果S＝1320，那么判断框中应填入(　　)

A．K＜10?　 B．K≤10? C．K＜9?　 D．K≤11?

9.如图，正方体
的棱长为
，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（ ）A.
B.
C.
D.

10.已知向量a，b，c满足
，
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 已知
，
，规定：当
时,
；当
时,
，则
（ ）

A. 有最小值
,最大值1 B. 有最大值1,无最小值

C. 有最小值
,无最大值 D. 有最大值
,无最小值

12. 已知双曲线
上一点
，过双曲线中心的直线交双曲线于
两点，记直线
的斜率分别为
，当
最小时，双曲线离心率为（ ）

A .
B.
C
D

卷Ⅱ(非选择题 共90分)

二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13.如图是甲、乙两名篮球运动员2013年赛季每场比赛得分的

茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 .

14.已知函数
满足
=1 且
，

则
=___________.

15.圆心在曲线
上，且与直线
相切的面积最小的圆的方程是_______.

16．如右图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,AD⊥AB , AD=DC=2,AB=3,点
是梯形
内或边界上的一个动点，点 N是DC边的中点，则
的最大值是________

三．解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

17.（本题满分12分）若
的图像与

直线
相切，并且切点横坐标依次成公差为
的等差数列.

(1)求
和
的值；

(2) ⊿ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。若
是函数
图象的一个对称中心，且a=4，求⊿ABC面积的最大值。

18. （本小题满分12分）2013年9月20日是第25个全国爱牙日。某区卫生部门成立了调查小组，调查 “常吃零食与患龋齿的关系”，对该区六年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名.

（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系？

（2）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理.求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率.

0.010

0.005

0.001





6.635

7.879

10.828



附：

19.（本小题满分12分）

在四棱锥
中，底面
为菱形，其中
，
，
为
的中点．

(Ⅰ) 求证：
；

(Ⅱ) 若平面
平面
，且
为

的中点，求四棱锥
的体积．

20、（本小题满分12分）

已知
是椭圆E：
的两个焦点，抛物线
的焦点为椭圆E的一个焦点，直线y＝
上到焦点F1，F2距离之和最小的点P恰好在椭圆E上，

（1）求椭圆E的方程；

（2）如图，过点
的动直线
交椭圆于A、B两点，是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

21．(12分)已知函数f(x)＝2ax－
－(2＋a)lnx(a≥0).

（1）当a＝0时，求f(x)的极值；

（2）当a＞0时，讨论f(x)的单调性；

（3）若对任意的a∈(2, 3)，x1, x2∈[1, 3]，恒有(m－ln3)a－2ln3＞|f(x1)－f(x2)|成立，求实数m的取值范围。

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）已知
为半圆
的直径，
，
为半圆上一点，过点
作半圆的切线
，过点
作
于
，交圆于点
，
．

（Ⅰ）求证：
平分
；

（Ⅱ）求
的长．

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.

在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为
.

求圆C的极坐标方程；

在以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线
的参数方程为

（t为参数），直线
与圆C相交于A，B两点，已知定点
,求|MA|·|MB|。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数

（Ⅰ）若
时，解不等式
；

（Ⅱ）若不等式
的对一切
恒成立，求实数
的取值范围

唐山一中调研考试文科数学试卷 答案

一、选择题： 1 C 2D 3C　4A 5A 6B 7 D 8A 9 D 10B 11C 12.B

二、填空题：13. 54 14. 1023 15.
16. 6

三、解答题：

17. 解：（1）
=
………………3分

由题意，函数
的周期为
，且最大（或最小）值为
，而
,

所以，

………… ……………………6分

（2）∵（
是函数
图象的一个对称中心 ∴

又因为A为⊿ABC的内角，所以
………… ……………………9分

⊿ABC中，设外接圆半径为R，

则由正弦定理得：
， 即：

则⊿ABC的外接圆面积
………… ……………………12分

18. 解：（1）由题意可得列联表：

不常吃零食

常吃零食

总计



不患龋齿

60

100

160



患龋齿

140

500

640



总计

200

600

800



因为
。

所以能在犯错率不超过0.001的前提下,为该区学生常吃零食与患龋齿有关系。

（2）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表

小组

1

2

3

4

5

6



收集数据

甲乙

甲丙

甲丁

乙丙

乙丁

丙丁



处理数据

丙丁

乙丁

乙丙

甲丁

甲丙

甲乙



分组的情况总有6中，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种，

所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是
。

19. 解析：解：（Ⅰ）
，
为中点，

连
，在
中，
，
，
为等边三角形，

为
的中点，
, 　　　

,
平面
,
平面
,

(三个条件少写一个不得该步骤分)

平面
. 　　　　　　　　　　　　　 …………4分

（Ⅱ）连接
,作
于
. 　　　　　　　

,
平面
,

平面
平面ABCD
,

平面
平面ABCD，

,

,

. 　　　　　

,

又
,
.　

在菱形
中，
,

方法一:

, 　

.　

．　 …………12分

方法二:

， 　

,

……12分

20. 解：（1）由抛物线的焦点可得：
，

点
关于直线
的对称点为

故
，

因此
，椭圆方程为
……….4分

（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点。

当AB
轴时，以AB为直径的圆的方程为：
…………… ①

当AB
轴时，以AB为直径的圆的方程为：
…………②

由①②知定点M
。（6分）

下证：以AB为直径的圆恒过定点M
。

设直线
，代入
，有
。

设
，则
。

则
，

在
轴上存在定点M
，使以
为直径的圆恒过这个定点。（12分）

21.解：（1）当
时，

由
,解得
，可知
在
上是增函数，在
上是减函数.

∴
的极大值为
，无极小值. ………………4分

.①当
时，
在
和
上是增函数，在
上是减函数；

②当
时，
在
上是增函数；

③当
时，
在
和
上是增函数，在
上是减函数 8分

（3）当
时，由（2）可知
在
上是增函数，

∴
.

由
对任意的a∈(2, 3)，x1, x2∈[1, 3]恒成立，

∴

即
对任意
恒成立，

即
对任意
恒成立，

由于当
时，
，∴
. …………… 12分

22．解：（Ⅰ）连结
，因为
，所以
，………2分

因为
为半圆的切线，所以
，又因为
，所以
∥
，

所以
，
，所以
平分
．………4

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
， ……6分

连结
，因为
四点共圆，
，所以
，

所以
，所以
．………10分

23.