淮南市2014届 一模数学(理)试卷

参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，第15题少选、错选均不得分．

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

题次

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

D

A

C

C

A

 B

A

B

C





二、填空题：本大题共5小题，5每小题5分，共25分

11.　 [0,7] 12.
　 13、 14、
15.②③

三、解答题（本大题共6大题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得:

………………………………………（2分）

即
…………………………………………（4分）

又

比较得:
……………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）

…………………………………………………（9分）

由

∴
的单调增区间为
…………………（12分）

17．（本小题满分12分）

解：(1)设公差为，公比为，则
，

,
，

是单调递增的等差数列，
.

则
,
,
……………………………（6分）

(2)
。

…………（12分）

18.（12分）已知椭圆
的离心率
，左、右焦点分别为
、
，点
,
在线段
的中垂线上．

(Ⅰ)求椭圆
的方程;

(Ⅱ)如果圆E：
上的所有点都不在椭圆的外部，求圆的半径r的最大值.

解（Ⅰ）：椭圆
的离心率
，得：
， ……1分

其中
,椭圆
的左、右焦点分别为

,

又点
在线段
的中垂线上,

,
,……3分

解得
,椭圆
的方程为
． ………6分

(Ⅱ)设P
是椭圆上任意一点,

则
,
,
, ………8分

(
) .

当
时,

半径r的最大值为
.……12分

19. 解(Ⅰ)证明:由题意得四边形
为菱形,又

为正三角形,又

为正三角形,

又面
,
………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得
……8分

(Ⅲ)（法一）以O为坐标原点建系如图,则

的一个法向量为
,
的一个法向量为
设二面角
的平面角为
,则
………13分

（法二）连接
交
与,易得
,

,又
, 作
交
于
，连接

得
,
则
即为二面角

易得
,
,故

(比照 (Ⅲ)（法一）给分)

20.（本小题满分13分）

.解：(Ⅰ)
. ……1分

①当
时，由于
，故
，
.所以，
的单调递增区间为
. ②当
时，由
，得
. ……4分

在区间
上，
，所以，函数
的单调递增区间为
，

在区间
上，
，所以，函数
的单调递减区间为
. ……6分

(Ⅱ)由已知，转化为
. 而
……7分

由(Ⅱ)知，当
时，
在
上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在
，故不符合题意.) ……9分

当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，故
的极大值即为最大值，
，

所以
，解得
. ……13分

21. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

……………(2分)

(Ⅱ)当
时，

令
有
，

当x变化时
的变化情况如下表:





（





+

0

－





增

极大值

减



由表可知：当
时，
取极大值
. …………………………………(6分)

(Ⅲ)当
时

考虑到：
时，不等式
等价于
（﹡）

所以只要用数学归纳法证明不等式（﹡）对一切
都成立即可

（i）当
时，设

，

故
，即

所以，当
时，不等式（﹡）成立 …………………………………(9分)

（ii）假设
时，不等式（﹡）成立，即

当
时设

有

故
为增函数，

所以，
，即
，

这说明当
时不等式（﹡）也成立，

根据(i)(ii)可知不等式（﹡）对一切
都成立，

故原不等式对一切
都成立. …………………………………………(13分)