蚌埠市2014届高三年级第一次教学质量检查考试

数学试卷（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考

试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置.

1．已知集合
，集合
，则

A．
B．
Ｃ．
　　Ｄ．

2．复数
的虚部为

A．—1 B．
C．1 D．

3．下列命题的否定为假命题的是

A．
B．任意一个四边形的四个顶点共圆

C．所有能被3整除的整数都是奇数 D．

4．已知
为异面直线,
平面
,
平面
.直线
满足
,则

A．
,且
B．
,且

C．
与
相交,且交线垂直于
D．
与
相交,且交线平行于

5．已知等差数列{
}中，
，则tan(
)等于

A．
B．
C．-1 D．1

6．按下面的流程图，可打印出一个数列，设这个数列为
，

则

A,．
B．
C．
D．

7．若f(x)＝
，则
＝

A．0 B．1 C．2 D．3

8．设
，则
的大小关系是

A.
B.

C.
D.

9．如图，三棱锥
的高
，AC=BC=3，
，
分别在
和
上，且
，则下列四个图象中大致描绘了三棱锥
的体积
与
之间的变化关系的是

A. B. C. D.

10．已知函数
在
上可导，其导函数为
，若
满足：
，
，则下列判断一定正确的是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卷相应横线上.

11．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________．

12．在
的二项展开式中，常数项等于 .

13．等腰三角形
中，
边中线上任意一点，则
的值为

14．已知点
与点
在直线
的两侧，且
且
，
， 则
的取值范围是

15．在直角坐标系
中，已知任意角
以坐标原点
为顶点，以
轴的正半轴为始边，若终边经过
且
，定义：
，称“
”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”

，有同学得到以下性质：

①该函数的值域为
；

②该函数的图像关于原点对称；

③该函数的图像关于直线
对称；

④该函数为周期函数，且最小正周期为
；

⑤该函数的单调递增区间为

其中上述性质正确的是_________（填上所有正确性质的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）

在锐角△
中，
、
、
分别为角A、B、C所对的边，且
.

(1) 确定角C的大小；

（2）若
＝
,且△
的面积为
，求
的值.

17．（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，面
为正方形，面
为等腰梯形，
//
，
，
，
．

（1）求证：
平面
；

（2）线段
上是否存在点
，使
//平面
？证明你的结论．

18．（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和是
，且

．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设

，求适合方程
的正整数
的值．

19. （本小题满分13分）

一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球.

（1）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；

（2）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望.

20. （本小题满分12分）

某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级，据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低
元，在售价不变的情况下，年销售量将减少
万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为
（单位：万元），（纯利润=每件的利润×年销售量-投入的成本）

（1）求
的函数解析式；

（2）求
的最大值，以及
取得最大值时x的值.

21. （本小题满分14分）

已知函数

（1）若函数
在区间
内有极值，求实数
的取值范围；

（2）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）求证：
为自然对数的底数，e≈2.71828…)

蚌埠市2014届高三年级第一次教学质量检查考试

数学试卷（理工类）参考答案及评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

D

D

C

C

C

D

A

B





二、填空题：

11. 12 12. 180 13.
14.
15.①④⑤

三、解答题：

16．（本小题满分12分）

解：（1）∵
由正弦定理得
………………………2分

∴
……………………………………………………………………4分

∵
是锐角三角形， ∴
……………………………………6分

（2）
,
由面积公式得
………………………8分

∴
………………………………………………………………………9分

由余弦定理得
………………………………………10分

∴

∴
………………………………12分

17. （本小题满分12分）

解：（1）证明：在△
中，

因为
，
，
，

所以
． ……………………………………………………………3分

又因为
，

所以
平面
． ………………………………………………………6分

（2）线段
上存在点
，且
为
中点时，有
// 平面
，证明如下：

………………………………8分

连结
，与
交于点
，连接
．

因为
为正方形，所以
为
中点． ………………………………10分

所以
//
．

因为
平面
，
平面
，

所以
//平面
．

所以线段
上存在点
，使得
//平面
成立． ………………12分

18. （本小题满分12分）

解:（1）当
时，
，由
，得
……………………………1分

当
时，∵
，
， …………………………2分

∴
，即
　

∴
………………………………………………………3分

∴
是以
为首项，
为公比的等比数列． ……………………………4分

故

…………………………………………6分

（2）
，
……………8分

………………………………………9分

……………………………………11分

解方程
，得
.…………………………………………12分

19. （本小题满分13分）

解：（1）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则

. ………………………………………5分

（2）X的取值为2,3,4,5.

，
，

，
. ……………9分

所以X的分布列为

X

2

3

4

5



P











 X的数学期望
. ………………13分

20. （本小题满分12分）

解：（1）依题意，产品升级后，每件的成本为
元，利润为
元，

年销售量为
万件. ………………………………3分

纯利润为
. ………………………………5分

（万元） ………………………………7分

（2）

=178.5 ……………………………10分

当且仅当
即
时等号成立. ……………………………11分

所以
的最大值是178.5万元，且
取得最大值时
的值40.

……………………………12分

21. （本小题满分14分）

解：（1）函数
的定义域为
，
，由
得：
，

当
时，
；当
时，
，

所以
在
上单调递增，在
上递减，

故函数
在
处取得唯一的极值，

由题意得：
，

故实数
得取值范围为
………………………………………4分

（2）
时，不等式
化为
，

令
，

由题意知：
在
上恒成立，
，

再令
，则
，当且仅当
时取等号，

因此
在
上递增，所以
，

故
，所以
在
上递增，
，

因此
，即
的取值范围为
……………………………………9分

（3）由（2）知，当
时，
恒成立，即
…………10分

∴
…………………………………11分

令
，则有
，

分别令
，

则有

，

将这
个不等式相加可得：

，

故