广东2014届高三六校第三次联考

文科数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，20小题，满分150分。考试用时120分钟。

参考公式

（1）用最小二乘法求线性回归方程系数公式
．

（其中
）

（2）锥体体积公式
（
为锥体的底面积，
为锥体的高）

第一部分 选择题(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
,
,则
=

A．
B．
C．
D．

2.设复数
(其中
是虚数单位)，则在复平面内,复数
对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.已知向量
若
，则

A．
B．
C．
D．

4.已知等比数列
中，公比
，且
，
，则

A． 2 B． 3或6 C． 6 D． 3

5.设
为两个不重合的平面，
是两条不重合的直线，则下列四个命题中是真命题的是

A．若
，则

B．若

相交且不垂直，则
不垂直

C．若
，则

D．若
，则

6.某种产品的广告费支出
与销售额
（单位：百万元）之间有如下对应数据：

2

4

5

6

8





30

40

50

60

70



由散点图判断
与
具有线性相关关系，计算可得回归直线的斜率是7，则回归直线的方程是

A．
B．

C．
D．

7.一个几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为　

A．
B．
C．
D．

8.同时具有性质：“①最小正周期为
；②图象关于直线

对称；③在
上是增函数”的一个函数是

A.
B.

C.
D.

9.若
,则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
，则实数
是关于
的方程
有三个不同实数根的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

第二部分 非选择题(共 100 分)

二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

11. 已知函数
,则
= ．

12.阅读图2的程序框图，输出结果
的值为 ．

13.已知实数
满足：
，
，则
的取值范围是_　　　 ．

14.在平面内，若三角形的面积为
，周长为
，则此三角形的内切圆的半径
；在空间中，三棱锥
的三条侧棱
两两垂直，且
，利用类比推理的方法，求得此三棱锥
的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径
_____________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15.（本小题满分12分）

已知向量
，
，函数
.

（1）求函数
的最小正周期；

(2)若
，
，求
的值.

16．（本小题满分12分）

从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155
和195
之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组
,第二组
,…,第八组
,图3是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人.

(1)求第七组的频率；

(2)根据得到的样本数据估计该学校男生身高在180
以上(含180
)的人数；

(3)从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,求抽取的两个男生的身高之差不超过5的概率 .

17．（本小题满分14分）

在图4所示的几何体中,
是边长为2的正三角形,
,

平面
,平面
平面
,
,且
.

（1）证明：
//平面
；

（2）证明：平面
平面
；

（3）求该几何体的体积.

18．（本小题满分14分）

已知数列
为等差数列,且
,数列
的前
项和为
,且满足

，
.

（1）求数列
,
的通项公式；

（2）若
,
为数列
的前
项和,求
.

19．（本小题满分14分）

已知函数
.

（1）求
的单调区间和极值点；

（2）求使
恒成立的实数
的取值范围；

（3）当
时，是否存在实数
，使得方程
有三个不等实根？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分14分）

已知函数
，设曲线
在点
处的切线与
轴的交点为
，其中
为正实数，
.

（1）用
表示
；

（2）若
，记
(
)，试判断数列
是否是等比数列，若是求出其公比；若不是，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，设
，数列
的前
项和为
，证明：
.

2014届高三六校第三次联考

文科数学参考答案

选择题：

C B D D D A A D D C

二、填空题：

11.
； 12.
； 13.
； 14.
.

三、解答题：

15.（本小题满分12分）

已知向量
，
，函数
.

（1）求函数
的最小正周期；

(2)若
，
，求
的值.

解：(1)

， 4分

的最小正周期为
. 6分

(2)
，

，
， 8分

，
，
，
， 10分

. 12分

16．（本小题满分12分）

从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155
和195
之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组
,第二组
,……,第八组
,图3是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4人.

(1)求第七组的频率；

(2)根据得到的样本数据估计该学校男生身高在180
以上(含180
)的人数；

(3)从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,求抽取的两个男生的身高之差不超过5的概率 .

16.解： (1)第六组的频率为
， 2分

所以第七组的频率为 ：
. 4分

（2）由直方图得后三组频率为
，

所以估计该校男生身高在180
以上(含180
)的人数为
人. 7分

(3)第六组
的人数为4人,设为
,第八组
的人数为2人, 设为
,

则从这6人中抽取2人有
，
共15种情况,

9分

抽取的两个男生的身高之差不超过5有
共7种情况, 11分

抽取的两个男生的身高之差不超过5的概率为
. 12分

17．（本小题满分14分）

在图4所示的几何体中,
是边长为2的正三角形,
,

平面
,平面
平面
,
,且
.

（1）证明：
//平面
；

（2）证明：平面
平面
；

（3）求该几何体的体积.

17.证明:(1) 取
的中点
,连接
、
,

由已知
,可得：
，

又因为平面
⊥平面
,平面

平面
，

所以
平面
，

因为
平面
, 所以
，

又因为
平面
,
平面
，

所以
平面
. 4分

(2)由(1)知
,又
,
,

所以四边形
是平行四边形,则有
，

由（1）得
,又
,

平面
, 所以
平面
，

又
平面
,所以
，

由已知
,
,

平面
，

因为
平面
, 所以平面
平面
. 10分

(也可利用勾股定理等证明题中的垂直关系)

（3）
，

平面
， 11分

，易得四边形
为矩形其面积
， 12分

故该几何体的体积
=
. 14分

18．（本小题满分14分）

已知数列
为等差数列,且
,数列
的前
项和为
,且满足

，
.

（1）求数列
,
的通项公式；

（2）若
,
为数列
的前
项和,求
.

18.（1）
数列
是等差数列，设公差为
，则
，解得
，

. 2分

①，
②，

由① — ②得
，

， 4分

由
得
，

，

， 5分

是等比数列，公比是
，
. 6分

（2）
，

，

， 8分

，

. 14分

19．（本小题满分14分）

已知函数
.

（1）求
的单调区间和极值点；

（2）求使
恒成立的实数
的取值范围；

（3）当
时，是否存在实数
，使得方程
有三个不等实根？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.

19．解：（1）
，

由
得
，
得
，

在
单调递减，在
单调递增，

的极小值点为
.（注：极值点未正确指出扣1分） 3分

（2）方法1：由
得
，

，令
，则
，

ⅰ）当
时，
，
在
单调递减，
无最小值，舍去；

ⅱ）当
时， 由
得
，
得
，

在
单调递减，在
单调递增，

，只须
，即
，

当
时
恒成立. 8分

方法2：由
得
，
，

即
对任意
恒成立，

令
，则
，

由
得
，
得
，

在
单调递增，在
单调递减，

，

，

当
时
恒成立.

（3）假设存在实数
，使得方程
有三个不等实根，

即方程
有三个不等实根，

令
，

，

由
得
或
，由
得
，

在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增，

的极大值为
，
的极小值为
. 11分

要使方程
有三个不等实根，则函数
的图像与
轴要有三个交点，

根据
的图像可知必须满足
，解得
， 13分

存在实数
，使得方程
有三个不等实根，

实数
的取值范围是
. 14分

20.（本小题满分14分）

已知函数
，设曲线
在点
处的切线与
轴的交点为
，其中
为正实数，
.

（1）用
表示
；

（2）若
，记
(
)，试判断数列
是否是等比数列，若是求出其公比；若不是，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，设
，数列
的前
项和为
，

证明：
.

20.解：（1）由题可得
，

所以曲线
在点
处的切线方程是
，

即
， 2分

令
，得
，即
，

显然
，∴
. 4分

（2）数列
是等比数列，证明如下：

由
，
得

　　　
，

，

所以数列
成等比数列，公比为2． 8分

（3）解：

，由（2）得
，

，

所以

， 12分

故数列
的前
项和
，

，

又
单调递增，
单调递减，

当
时
的最小值为
，

． 14分