一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案填在答题卷的选择题表格中）

1．复数满足：
，则

A．
B．
C．
D．

2．设全集
是实数集，
，
，则图中阴影部分表示的集合是

A．
B．

C．
D．

3. 数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝

A．3×44　　　　　　　　B．3×44＋1　　　　　C．45 　　　　　　　 D．45＋1

4．下列命题中，真命题是

A．存在一个
，使
(
是三边长，是内角的对边) B．

C．幂函数
在定义域上是减函数

D．
是
的必要条件

5．某校高三(38)班有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是

A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

6． 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，

则相应的侧（左）视图可以为

A. B. C. D.

7．将包含甲、乙两队的8支球队平均分成两个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在不同小组的分配方法有

A. 20种 B. 35种 C. 40 种 D.60种

8．若
，当
，
时，
，若在区间
，
内
有两个零点，则实数的取值范围是

A .
　 B.
　C.
　 D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分，把答案填在答题卷上）

（－）必做题

9．
中，点
是边
的中点，
，
， 则
．

10．若
满足约束条件：
，则
的取值范围为
．

11. 曲线
在点
处的切线为
，则由曲线
、直线

及轴围成的封闭图形的面积是_________．

12．设函数
，某算法的程序框如图所示，若输出结果

满足
，则输入的实数的范围是________．

13． 函数
的图象如图所示，若
，

，则
_______．

（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第14题的得分．

14．已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，

⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直

线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，

EA=1， AMB=30o，那么⊙O2的半径为 ．

15．在极坐标系中，圆
的圆心到直线
的距离是
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

.（本题满分
分）

已知函数
（
）.

(1)求函数
的最大值，并指出取得最大值时相应的的值；

(2) 设
，若
是偶函数,求的值.

.（本题满分
分）

已知函数
，定义域为．

（1）若
，求
的单调递减区间；

（2）若
，且
的最大值为
，求
的最小值．

18．（本题满分
分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为
，二等品率为
；乙产品的一等品率为
，二等品率为
；生产件甲产品，若是一等品，则获利万元，若是二等品，则亏损万元；生产件乙产品，若是一等品，则获利
万元，若是二等品，则亏损万元.两种产品生产的质量相互独立.

（1）设生产件甲产品和件乙产品可获得的总利润为
（单位：万元），求
的分布列；

（2）求生产件甲产品所获得的利润不少于
万元的概率.

19．（本题满分
分）

如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2．将△ABD沿边AB折起， 使得△ABD与△ABC成30o的二面角
,如图二，在二面角
中.

(1) 求D、C之间的距离；

(2) 求CD与面ABC所成的角的大小．

20 ．（本题满分
分）

已知数列
中，
，
，记
为
的前
项的和．

（1）设
，证明：数列
是等比数列；

（2）求
；

（3）不等式
对于一切
恒成立，求实数
的最大值.

21．（本题满分14分）

已知函数
（
）．

(1)若函数
在
处取得极大值，求的值；

(2)
时,函数
图象上的点都在
所表示的区域内，求的取值范围；

(3)证明：
，
．

 2013-2014学年湛江一中高三第一学期12月月考试题

数学(理科)参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案填在答题卷的选择题表格中）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

B

A

A

C

D

C

B





（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第14题的得分．

14. 3 15.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

处也可是
等)

所以
的最大值是 ---------------------------------------------------------------------------5分

此时
，即
------------------------------------------------6分

(2)解法一：由(1)及
， ----------------------------------------------7分

得
--------------------------------------------------------8分

即
对任意实数恒成立， -------------------------------------------9分

所以
，又
-----------------------------------------------------11分

所以
． ------------------------------------------------------------------------------------12分

解法二: 由题设知
，所以
是
的对称轴，

由
的对称轴为
，即

又
，所以
．

所以在
，
（＊） ------------------------------------9分

又
，
，
，所以
--------10分

由题设得
，代入（＊） ------------------------------------------11分

得
，
的最小值的是
. --------------------------------------------------------------12分

18.解：（1）由题设知，
的可能取值为
，
，，
. -----------------2分

，
，

，
. ------------------------------------7分

由此得
的分布列为：























………8分

（2）设生产的件甲产品中一等品有件，则二等品有
件.

由题设知
，解得
，又

，得
，或
. …………10分

所求概率为
.（或写成
）

所以，生产件甲产品所获得的利润不少于
万元的概率为
. ………14分

19．解: 依题意， ABD=90o ，建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上-------------------------------2分.

△ABD与△ABC成30o的二面角, DBY=30o，-------------------------------------------------------------3分

又AB=BD=2， A(0，0，2)，B(0，0，0)，

C(0，
，1)，D(1，
，0)， -------------------------------6分

(1)|CD|=
=
-------------------------------7分

(2) x轴与面ABC垂直，故(1，0，0)是面ABC的一个法向量。

设CD与面ABC成的角为
，而
= (1，0，-1)，-----------------------------10分

sin
=
=
------------------------------------------------------------12分

[0，
]，
=
；

所以所求的DC与平面ABC的所成角是
----------------------------------------------------------------------14分

几何法:

过B在半平面ABC内作BN垂直于AB，交AC于N，

则

又

平面BND

过C作CH//AB，则
平面BND，

≌

即
，在
中，得

(2) 因
，
，

平面ABC，

则
为所线DC与平面ABC的所成角，
是等腰三角形，

所以所求的DC与平面ABC的所成角是

20 ．解：（1）
-------------------------------------3分

所以
是以
，公比为
的等比数列. ---------------------------------------4分

(2)由
知,
,

当
时,
; ------------------------------------------5分

当
时,
----------------------------------6分

即
----------------------------------------------------7分

----------------9分

(3)由(2),
即得
--------10分

所以
------------------------------------------------------------------------11分

因
(当
时等号成立) -----------------------13分

即所求的
最大值
. -------------------------------------------------------------------------14分

21．(1)
，
，----------------------------------------------------------------------------------1分

由
经检验符合题意-------------------------------------------------------------------------------3分

②当0＜k＜时，