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济钢高中2011级高三 12月 摸底考试

数学（文）试题

说明：本试卷满分 150 分，考试时间：120分钟 2013年12月22日

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5 分，共60分）

1.已知集合
，则集合
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

2.已知
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

3.已知等差数列
的前
项和为
，
，
，
取得最小值时

的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

4.命题“
” 的否定是

（A）
（B）
（C）
（D）

5.已知变量
满足约束条件
，则
的最大值为

（A）
（B）
（C）
（D）

6.已知正数
满足
，则
的最小值为

（A）
（B）
（C）
（D）

7.已知
,则

A．

B．
C．
D．

8．已知直线
平面
，且
，给出下列四个命题

①若
∥
，则
②若
，则
∥

③若
，则
∥
④若
∥
，则

其中正确命题的序号是（ ）

A．①② B．①③ C．②④ D．①④

9.已知
且
，函数
在同一坐标系中的图象可能是

10. 圆
与直线
的位置关系为（ ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能

11.与椭圆
共焦点且过点
的双曲线方程是 （ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

座号







第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）

注意事项：

1.第Ⅱ卷所有题目的答案考生须用黑色签字笔、钢笔或圆珠笔答在试题卷上答题，考试结束后将答题卡和第Ⅱ卷一并上交。

2.答题前将密封线内的项目填写清楚，密封线内答题无效。

二、填空：

13.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ．

14．若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则
的值为 ．

15. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin A＝________.

16. 函数
的单调增区间是

三、解答题

17．（本小题满分12分）

已知函数
.

（I）求函数
的单调减区间；

（II）若
,
是第一象限角，求
的值．

18.（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

19.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为
的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=
AD．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

20.已知
为等差数列，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式及其前
项和
；

（Ⅱ）若数列
满足
求数列
的通项公式.

21. （本小题满分12分）已知函数
的图象经过点
，曲线在点
处的切线恰好与直线
垂直.

（1）求实数
的值.

（2）若函数
在区间
上单调递增，求
的取值范围.

22. （本小题满分14分）已知椭圆的一个顶点为
，焦点在
轴上.若右焦点到直线
的距离为3.

（1）求椭圆的方程.

（2）设直线
与椭圆相交于不同的两点
.当
时，求
的取值范围.

一、BAACB,ACDCA,BC

二、12
4
（
，+
）

三、17.解：（I）因为

. .............3分

所以，当
，

即
时，函数
递减.

故，所求函数
的减区间为
. ...........................6分

（II）因为
是第一象限角，且
，

所以
.

由
得
. ………………………9分

所以
. …………………………12分

18.解：(1)∵f(1)＝1，

∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，

这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3>0，得－1

令g(x)＝－x2＋2x＋3.

则g(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，

又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，

所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．

(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，

则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

因此应有解得a＝.故存在实数a＝使f(x)的最小值等于0.

19．（本小题满分12分）

（1）证明：连结
，则
是
的中点，
为
的中点，故在△
中，
， …………2分

且

平面
，

平面
，∴
∥平面
…………6分

（2）证明：因为平面
⊥平面
， 平面
∩平面
=
，

又
，所以，
⊥平面
，∴
又
，所以△
是等腰直角三角形，k.s.5.u

且
， 即
……………9分

又
， ∴
⊥平面
，

又

平面
，所以平面
平面
…………………12分

20.（本小题满分12分）

解（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为
，

①-②得
------------------------------------8分

∴
, ------------------------------------10分

------------------------------------11分

∴
------------------------------------12分

21. 解：（1）
的图象经过点

……………………………2分

，则
，由条件
即

解得
………………………………………………………………………6分

（2）
，

令
得
或
………………8分

函数
在区间
上单调递增，则

或
即
或
……………………………………12分

22. 解：（1）依题意可设椭圆方程为
，则右焦点

由题设
，解得
，……………………………………3分

故所求椭圆的方程
………………………………………5分

（2）设
、
、
，
为弦
的中点，由

得
……………………………………7分

直线与椭圆相交，

①………8分

，从而
，

，又

则：
，即
，②

把②代入①得
，解
，…………………………………………11分

由②得
，解得
.……………………………………………13分

综上求得
的取值范围是
.……………………………14分