吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班摸底测试

数 学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1．已知
，则
=

A.
B.

C.
D.

2. 复数
等于A.
B.
C.
D.

3.
，若
，则

A. 0 B. 3 C. -1 D. -2

4.如图. 程序输出的结果s=132 , 则判断框中应填

A. i≥10?

B. i≥11?

C. i≤11?

D. i≥12?

5. 某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为

A. 600 B. 288 C. 480 D. 504

6. 设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，有下列四个命题：

① 若
； ② 若
；

③ 若
； ④ 若
其中正确命题的序号是

A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ②③

7. 平行四边形
中，
=（1，0），
=（2，2），则
等于

A．4 B．-4 C．2 D．-2

8. 已知关于的二项式
展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2

9. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A．

B．

C．

D．

10. 已知函数
，其图象相邻的两条对称轴方程为
与
，则

A．
的最小正周期为
，且在
上为单调递增函数

B．
的最小正周期为
，且在
上为单调递减函数

C．
的最小正周期为， 且在
上为单调递增函数

D．
的最小正周期为， 且在
上为单调递减函数

11. 已知双曲线
的右焦点F，直线
与其渐近线交于A，B

两点，且△
为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是A. （
） B. （1，
）

C. （
） D. （1，
）

12. 已知定义在R上的函数
对任意的都满足
，当

时，
，若函数
至少6个零点，则的取值范围是

A.
B.

C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．在△
中，角
所对的边分别为
，已知
，
，
．

则
=

14. 设变量
满足约束条件
，则
的最大值是

15. 下列说法：

① “
，使
>3”的否定是“
，使
3”；

② 函数
的最小正周期是；

③ “在
中，若
，则
”的逆命题是真命题；

④ “
”是“直线
和直线
垂直”的充要

条件；其中正确的说法是 （只填序号）.

16. 四面体
中，共顶点的三条棱两两相互垂直，且其长别分为1、、3，若四

面体
的四个项点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在锐角
中，
，
，
。

（I） 求角的大小

（II）求
的取值范围

18．（本小题满分12分）

公差不为零的等差数列{
}中，
，又
成等比数列.（I） 求数列{
}的通项公式.（II）设
，求数列{
}的前n项和
.

19．（本小题满分12分）

其市有小型超市72个，中型超市24个，大型超市12个，现采用分层抽样方法抽取9个超市对其销售商品质量进行调查，

（I） 求应从小型、中型、大型超市分别抽取的个数

（II） 若从抽取的9个超市中随机抽取3个做进一步跟踪分析，记随机变量X为抽取的

小型超市的个数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X).

20．（本小题满分12分）

在四棱锥
中，底面
是正方形，侧面
是正三角形，平面

底面
．

（I） 证明：
平面
；

（II）求二面角
的余弦值。

21．（本小题满分12分）

已知椭圆
（
）右顶点与右焦点的距离为
，短轴长为
.

（I）求椭圆的方程；

（II）过左焦点
的直线与椭圆分别交于、两点，若三角形
的面积为
，

求直线
的方程．

22．（本小题满分12分）

已知函数
，其中
且
．

（I）求函数
的单调区间；

（II）当
时，若存在
，使
成立，求实数的取值范围．

命题、校对：孙长青

吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班摸底测试

数 学（理科）参考答案及评分标准

一、CBABD DACAC DA

二、13．
14. 5 15. ①② 16. 16π

三、

17．解（1）由题意：

∴
即
-------------3分

∵
∴
∴
即
--------------5分

（2）由（1）知：

∴
（7分）

∵
为锐角三角形。

∴

∴
又
∴

∴
……………………………（8分）

∴
……………………………（10分）

18．解（1）设公差为d（d
）

由已知得：
，
，又因为
，所以

， 所以
--------------------------------------6分

（2）由（1）得
，因为

所以
是以
为首项，以8为公比的等比数列，所以
----12分

19．（本小题满分12分）

解：（1）抽取大型超市个数：
（个）

抽取中型超市个数：
（个）

抽取小型超市个数：
（个） -------------------------------------6分

（2）
;

;
-------------------------------10分

分布列为

X

0

1

2

3



P













--------------------------------11分

所以
--------------------------------12分

20．（Ⅰ）因为平面VAD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，

又AB在平面ABCD内，AD⊥AB，所以AB⊥平面VAD．…………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥AB，AB⊥AV．依题意设AB=AD=AV=1，所以BV=BD=
．…6分

设VD的中点为E,连结AE、BE，则AE⊥VD，BE⊥VD，

所以∠AEB是面VDA与面VDB所成二面角的平面角． …………9分

又AE=
，BE=
，所以cos∠AEB=
=
．

…………12分

（方法二）

（Ⅰ）同方法一．…………3分

（Ⅱ）设AD的中点为O，连结VO，则VO⊥底面ABCD．

又设正方形边长为1，建立空间直角坐标系如图所示．…………4分

则，A（
，0，0）， B（
，1，0），

D（-
，0，0）， V（0，0，
）；

…………7分

由（Ⅰ）知

是平面VAD的法向量．设
是平面VDB的法向量，则

…………10分

∴
，

21．解：（Ⅰ）由题意，

解得
即：椭圆方程为
-----3分

（Ⅱ）当直线
与轴垂直时，
，

此时
不符合题意故舍掉； -----------4分

当直线
与轴不垂直时，设直线
的方程为：
，

代入消去得：
. ------------6分

设
，则
， -----------7分

所以
. ------------9分

原点到直线的
距离
，

所以三角形的面积
.

由
， ------------12分

所以直线
或
. ---------13分

22．解（1）定义域为R，
--------------------------------------------2分

当
时，
时，
；
时，

当时，
时，
；
时，
-----------4分

所以当
时,
的增区间是
，减区间是

当
时,
的ug减区间是
，增区间是
---------------6分

（II）
时，
，由
得：

设
，
， --------------------------------------8分

所以当
时，
；当
时，
，

所以
在
上递增， 在
上递减， -----------------------------10分

所以的取值范围是
----------------------------12分