吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班摸底测试

数 学（文科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1．设集合U={0，l，2，3，4，5，6}，M ={l，3，5}，N={4，5，6}，则
=

A． {0，2，4，6} B． {4, 5，6}

C． {4, 6} D． {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. 设i为虚数单位，则复数
=

A．
B．
C．
D．

3. 抛物线
的焦点坐标是

A．（2，0） B．（0，2） C．（l，0） D．（0，1）

4.
，若
，则

A. 0 B. 3 C.
D.

5. 如图. 程序输出的结果s=132 , 则判断框中应填

A. i≥10?

B. i≥11?

C. i≤11?

D. i≥12?

6．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，有下列四个命题：

① 若
； ② 若
；

③ 若
； ④ 若
其中正确命题的序号是

A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ②③

7. 直线
和圆
的位置关系是

A．相离 B．相切

C．相交不过圆心 D．相交过圆心

8. 已知向量

，向量

，且
，则
的值是

A.
B.
C.
D.

9．右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于

A．

B．

C．

D．

10. 已知数列
，
，若该数列是递减数列，则实数
的取值范围是

A.
B.

C.
D.

11. 已知双曲线
的右焦点F，直线
与其渐近线交于A，B

两点，且
为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是A. （
） B. （1，
）

C. （
） D. （1，
）

12. 设函数
的最小值为
，则实数的取值范围是

A.
B.

C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．在△
中，角
所对的边分别为
，已知
，
，
．

则
=

14. 设变量
满足约束条件
，则
的最大值是

15. 边长是
的正
内接于体积是
的球
，则球面上的点到平面
的最大距离为

16. 下列说法：

① “
，使
>3”的否定是“
，使
3”；

② 函数
的最小正周期是；

③ “在
中，若
，则
”的逆命题是真命题；

④ “
”是“直线
和直线
垂直”的充要条件；其中正确的说法是 （只填序号）.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在锐角
中，

（Ⅰ）求角的大小

（Ⅱ）求
的取值范围

18．（本小题满分12分）

公差不为零的等差数列{
}中，
，又
成等比数列.（Ⅰ）求数列{
}的通项公式.（Ⅱ）设
，求数列{
}的前n项和
.

19．（本小题满分12分）

某校高三期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩分组统计如下表：

（Ⅰ）求出表中、、
、
的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；

分组

频数

频率











































合计









（Ⅱ）若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在
分以上的人数；

（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．

20．（本小题满分12分）

在四棱锥
中，底面
是正方形，侧面
是正三角形，平面

底面
．

（Ⅰ）如果为线段VC的中点,求证：
平面
；

（Ⅱ）如果正方形
的边长为2, 求三棱锥
的体积

21．（本小题满分12分）

已知椭圆
（
）右顶点到右焦点的距离为
，短轴长为
.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过左焦点
的直线与椭圆分别交于、两点，若线段
的长为
，

求直线
的方程．

22. （本小题满分12分）

已知
是
的一个极值点

（Ⅰ） 求
的值；

（Ⅱ） 求函数
的单调递减区间；

（Ⅲ）设
，试问过点
可作多少条直线与曲线
相切？请说明理由.

命题、校对：孙长青

吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班摸底测试

数 学（文科）参考答案与评分标准

一、

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

A

D

A

B

D

A

C

B

A

D

A



二、13．
14. 5 15.
16. ①②

三、

17．解（1）由题意：
即
-------------3分

∵
∴
∴
即
--------------5分

（2）由（1）知：

∴
（7分）

∵
为锐角三角形。

∴

∴
又
∴

∴
……………………………（8分）

∴
……………………………（10分）

18．解（1）设公差为d（d
）

由已知得：
，
，又因为
，所以

， 所以
--------------------------------------6分

（2）由（1）得
，因为

所以
是以
为首项，以8为公比的等比数列，所以
----12分

19．（本小题满分12分）

解：（I）由频率分布表得
, --------------------------------------1分

所以
，--------------------------------------------------------------2分
，----------3分
．………4分

…………6分

（Ⅱ）由题意知，全区90分以上学生估计为
人． ………9分 （III）设考试成绩在
内的3人分别为A、B、C；考试成绩在
内的3人分别为a、b、c， 从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有： (A，B)，(A，C)，(A ，a)，(A，b)，(A， c)， (B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)， (C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)共有15个.

设抽取的2人的分数均不大于30分为事件D． 则事件D含有3个结果： (A，B)，(A，C) ，(B，C) ∴
． …………12分

20．（本小题满分12分）

解（Ⅰ）连结AC与BD交于点O， 连结OP

因为ABCD是正方形，所以OA=OC,又因为PV=PC

所以OP∥VA,又因为
面PBD,所以
平面
--------6分

（Ⅱ）的面VAD内，过点V作VH⊥AD,因为平面

底面
．所以VH⊥面

所以
------------------- 12分

21．（本小题满分12分）

解：解：（Ⅰ）由题意，

解得
．

即：椭圆方程为
------------4分

（Ⅱ）当直线
与轴垂直时，
，

此时
不符合题意故舍掉； -----------6分

当直线
与轴不垂直时，设直线
的方程为：
，

代入消去得：
．

设
，则
-----------8分

所以
， ------------11分

由
， ------------13分

所以直线
或
． ---------14分

22. （本小题满分12分）

解（I）因为
是
的一个极值点，所
，经检验，适合题意，所以
---------------------------------------------------------------3分

（II）定义域为
，

所以函数的单调递减区间为
-------------------------------------------6分

（III）
，设过点（2，5）与曲线
相切的切点为

所以
，
------------9分

令
，所
在
上单调递减，在
上单调递增，因为
，所以
与x轴有两个交点，

所以过点
可作2条直线与曲线
相切 ------------------------------------------12分