四川省资阳市高中2011级第一次诊断性考试

数 学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∩B＝

（A）{3，5} （B）{6，8}

（C）{5，8} （D）{3，4，5，6，7，8}

2．已知向量a＝(3, 4)，b＝(1, 3)，则a－2b＝

（A）(1, 3) （B）(1, －2)

（C）(2, 1) （D）(2, －2)

3．已知i是虚数单位，a，b∈R，且
，则a＋b＝

（A）1 （B）－1 （C）－2 （D）－3

4. 函数
的定义域为

（A）
（B）

（C）
（D）

5. 命题

，
，则

（A）

，
（B）

，

（C）

，
（D）

，

6.
中，若
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

7. 若把函数
（
）的图象向左平移
个单位后与函数
的图象重合，则的值可能是

（A）
（B）

（C）
（D）

8. 函数
的图象大致是

（A） （B） （C） （D）

9．已知函数
，若
恒成立，则实数m的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

10．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量
（m，n为实数），则
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边经过点
，则
___________.

12．若
，
，则
______.

13．已知向量a，b的夹角为
，
，

且向量与
垂直，则实数
________.

14．已知
，根据右图所示的程序框图，则

不等式
的解集是____________.

15．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．如果函数
的图象恰好通过（
）个整点，则称
为阶整点函数．给出下列函数：

①
；②
；③
；④
；⑤
.

其中是1阶整点函数的序号有______________.（写出所有满足条件的函数的序号）

三、解答题：共6大题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）在等比数列
中，
，且
，
，
成等差数列.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）令
，求数列
的前项和
.

17.（本小题满分12分）设向量
，
，
，
，且∥，其中
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，
，求
.

18.（本小题满分12分）设
是定义在实数集R上的奇函数，当
时，
.

（Ⅰ）求
的解析式，并解不等式
；

（Ⅱ）设
，若对任意
，总存在
，使
，求实数的取值范围．

19.（本小题满分12分）已知函数
（
）.

（Ⅰ）求
在
内的单调递增区间；

（Ⅱ）在
中，为锐角，且
，
，是
边上一点，
，试求
的最大值．

20.（本小题满分13分）如图，将一矩形花坛
扩建成一个更大的矩形花坛
，要求点在
上，点在
上，点在
上，
米，
米．

（Ⅰ）要使扩建成的花坛面积大于

，则
的长度应在什么范围内？

（Ⅱ）当
的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积．

21.（本小题满分14分）已知函数
（
）.

（Ⅰ）当
时，求
的图象在
处的切线方程；

（Ⅱ）若函数
在
上有两个零点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数
的图象与轴有两个不同的交点
，且
，

求证：
（其中
是
的导函数）．

资阳市高中2011级第一次诊断性考试数学参考答案及评分标准（理工类）

一、选择题：CBDAD，ACBCC.二、填空题：11.
；12.1；13.
；14.
；15.①②④.

16.【解】（Ⅰ）设
的公比为，由
，
，
成等差数列，得
.

又
，则
，解得
. ∴
（
）. 6分

（Ⅱ）
，∴
，
是首项为0，公差为1的等差数列，

它的前项和
. 12分

17.【解】（Ⅰ）∵//，∴
， 2分

又
，∴
，∴
， 4分

∵
，∴
，故
. 6分

（Ⅱ）∵
，
，∴
.

∵
，∴
；
，
． 9分

11分

. 12分

18.【解】（Ⅰ）当
时，
； 1分

当
时，有
，由
. 3分

∴
的解析式为
4分

当
时，
为
，解得
；当
时，
为
，解得
.故不等式
的解集是
或
. 6分

（Ⅱ）当
时，
，知
；当
时，

，知
，∴当
时，
. 8分

∵
是上的增函数，∴当
时，
， 9分

∵对任意
，总存在
使
，∴
， 10分

则
解得
，故实数的取值范围是
. 12分

19.【解】（Ⅰ）

. 2分

由
，得
（
）. 3分

取
，得
，又
，则
； 4分

取
，得
，又
，则
. 5分

∴
在
上的单调递增区间是
，
. 6分

（Ⅱ）由
得
.又
，则
，从而

，∴
. 8分

由
知
是正三角形，
，∴
，

在
中，由正弦定理，得
，即
.

∵是
边上一点，∴
，∴
，知
.

当
时，
取得最大值8. 12分

【另】在
中，由正弦定理，得
，∴
，

，则

．∵
，∴
，
，

当
，即
时，
取得最大值8. 12分

20.【解】（Ⅰ）设
（米），则
.∵
，∴
，

则
，
. 2分

∴花坛
的面积
（
）. 4分

由
，得
，则
，∴
或
，

故
的长度范围是
或
（米）. 8分

（Ⅱ）由

， 12分

当且仅当
，即
（米）时，等号成立.

∴当
的长度是4米时，扩建成的花坛
的面积最小，最小值为24
. 13分

【另】（Ⅰ）设
（米）(