安徽省“江淮十校”第一次联考试题

数学（理）

合肥一六八中学 王军

一、选择题（每小题5分，共50分）

1、已知集合
，则
（ ）

2、已知正数
满足：三数
的倒数成等差数列，则
的最小值为（ ）

A、1 B、2 C、
D、4

3、已知
，则（ ）

A、
B、
C、
D、

4、已知锐角
且
的终边上有一点
，则
的值为（ ）

A、
B、
C、
D、

5、已知向量
都是单位向量，且
，则
的值为（ ）

A、-1 B、
C、
D、1

6、下列说法中正确的是（ ）

A、若命题
为：对
有
，则
使
；

B、若命题
为：
，则
；

C、若
是
的充分不必要条件，则
是
的必要不充分条件；

D、方程
有唯一解的充要条件是：

7、已知锐角
满足：
，
，则
的大小关系是（ ）

A、
B、
C、
D、

8、已知
三个内角A，B，C所对的边，若
且
的面积
，则三角形
的形状是（ ）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、有一个为
的等腰三角形

9、已知函数
满足：
都是偶函数，当
时
，则下列说法错误的是（ ）

A、函数
在区间[3，4]上单调递减；

B、函数
没有对称中心；

C、方程
在
上一定有偶数个解；

D、函数
存在极值点
，且
；

10、某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数
（正常情况
，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分）计算当月绩效工资
元。要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少。则下列函数最符合要求的是（ ）

A、
B、

C、
D、

二、填空题（每小题5分，共25分）

11、已知
是虚数单位，则
= 。

12、
=

13、如图，在
中，
，点P是BN上一点，若
则实数
值为

14、已知正数
，对任意
且
不等式
恒成立，则实数
的取值范围是

15、已知函数
（
为常实数）的定义域为
，关于函数
给出下列命题：

①对于任意的正数
，存在正数
，使得对于任意的
，都有
．

②当
时，函数
存在最小值；

③若
时，则
一定存在极值点；

④若
时，方程
在区间（1，2）内有唯一解

其中正确命题的序号是

三、解答题（共75分，要注意解题过程的完备性）

16、（本题满分12分）已知函数
的定义域为集合

的定义域为集合
，集合

（1）若
，求实数
的取值范围。

（2）如果若
则
为真命题，求实数
的取值范围。

.

17、（本题满分12分）已知函数
（其中
）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
，且图象上一个最低点为
.

(Ⅰ)求
的解析式；

（Ⅱ）当
，求
的值域

18、（本题满分12分）已知
是等差数列
的前
项和，满足
；
是数列
的前
项和，满足：
。

（1）求数列
，
的通项公式；

（2）求数列
的前
项和

19、（本题满分12分）已知：
三个内角A，B，C所对的边，向量
，设

（1）若
求角

（2）在（1）的条件下，若
，求三角形ABC的面积。

20、（本题满分13分）已知二次函数
与
交于
两点且
，奇函数
，当
时，
都在
取到最小值。

（1）求
的解析式；

（2）若
与
图象恰有两个不同的交点，求实数
的取值范围。

21、（本题满分14分）已知函数
，
（
为常数）

（1）当
时
恒成立，求实数
的取值范围；

（2）若函数
有对称中心为A（1，0），求证：函数
的切线
在切点处穿过
图象的充要条件是
恰为函数在点A处的切线。（直线穿过曲线是指：直线与曲线有交点，且在交点左右附近曲线在直线异侧）

参考答案：

一、选择题（每小题5分，共50分）

1、
因为
，
，所以

2、
因为数
的倒数成等差数列，所以
，则

3、
因为

4、
点
化简为
，
，所以

5、D
，而
都是单位向量，
，

所以

6、
选项A中，
使
选项B中，
；

选项D中，充要条件是：
或

7、

所以
，由

则
则

8、
由
知
中
的平分线垂直边BC，所以
，再由
，

9、
因为
都是偶函数，所以
图象关于
对称，所以4为

的周期，从而其图象如下：由图象易知A，B，C正确。而D选项中
在
上存在极小值
。

10、C 由题意知：函数应满足单调增，且先慢后快，在
左右增长缓慢，最小值为500，A是先减后增差误，B由指数函数知是增长越来越快，D由对数函数增长速度越来越慢。C是
的平移和伸缩变换而得，故最符合题目要求。

二、填空题（每小题5分，共25分）

11、
因为

12、0 因为
是奇函数，所以
=0

13、
因为

而
三点共线，所以

14、
，

化简
得
因为
，所以
，又因为
所以，
得
。

还可以
在（0，1）单调递增求解。

15、 ②③④ 由
，①若
则
，则
单调递增当
时
，所以不能保证任意的
，都有
。②当
时，
与
的图象知在第一象限有交点
且在
，当
所以
在定义域内先减后增，故存在最小值。③相当于在②条件下提取一负号即可，正确；④由
得
即
的解即为
的零点，而
且
，所以正确。

三、解答题（共75分）

16、解：集合
，

（1）因为
所以
所以
┄┄┄┄ 6分

（2）
若
则
为真命题，则
，所以
或

所以
的取值范围是
或
┄┄┄┄ 12分

17、解（1）由最低点为
得A=2.

由x轴上相邻的两个交点之间的距离为
得
=
，即
，

由点
在图像上得

故

又
┄┄┄┄┄┄┄ 6分

（2）

因为
则

所以
值域为
┄┄┄┄┄ 12分

18、（本题共12分）

（1）解：设等差数列
的公差
，则有

所以
┄┄┄┄┄┄┄ 2分

两式相减得：
且
也满足，所以
是以2为公比的等比数列，又因为
所以
┄┄┄┄┄┄┄ 6分

（2）解：
┄┄┄┄┄┄ 9分

所以：

┄┄┄┄┄ 12分

19、解答：（1）

因为
，即
，所以
或
（舍去） ┄┄┄┄ 6分

（2）由
，则
，

所以
，又因为
所以

所以三角形ABC是等边三角形，由
所以面积为
┄┄┄┄┄ 12分

20、解：（1）因为
是奇函数，由
得
，所以
由于
时
有最小值。所以
，则
当且仅当：
取到最小值。

所以
，即

设
，
则

由
得：

所以：
解得：

所以
┄┄┄┄┄┄┄ 6分

（2）因为
与
，即
有两个不等的实根

也即方程

有两个不等的实根。

当
时，有
，解得
。当
时，有
，无解