四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题

理科数学

考生注意：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在试卷的

相应位置。

3．请将第I卷的答案填在第Ⅱ卷前面的答案栏上。第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔答题。

4．本次考试时间120分钟，试卷满分150分。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1.若集合
，
，则
（ ）



A．

B．
或



C．
或

D．



2. 设
（
是虚数单位），则
( )



A．

B．

C．

D．



3. 下列有关命题的说法正确的是 ( )

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．“
”是“
”的必要不充分条件．

C．命题“

使得
”的否定是：“对

均有
”．

D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．



4.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为（ ）

A.
B.

C.
D.



⒌ 等差数列
中的
是函数
的极值点，则
( )



A．

B．

C．

D．



6.把函数
的图象向右平移
个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短

为原来的
，所得的函数解析式为( )



A．

B．



C．

D．



7.已知
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，在下列条件中，能成为
的充分条件的是( )

A．
，
与
所成角相等 B.
在
内的射影分别为
，且

C.
，
D.
，



8. 设集合
，集合
，
，
满足
且
，那么满足条件的集合A的个数为（ ）



A． 76

B．78

C．83

D．84



9. 定义在R上的偶函数
满足
，且在
上是减函数，
是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）



A

B

C

D



10. 若函数

在区间
，0)内单调递增，则
取值范围是( )



A．[
，1)

B．[
，1)

C．
，

D．(1，
)



 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 已知
，则

12. 执行右边的程序框图,若p＝100，则输出的

13. 若
的展开式中各项系数之和为
，

则展开式的常数项为

14. 设变量
满足
，若直线
经过该可行域，则
的最大值为

15.定义在
上函数
满足对任意
都有
，

记数列
，有以下命题：①
； ②
； ③ 令函数
，则
；④令数列
，则数列
为等比数列，

其中真命题的为

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16. （本小题满分12分）已知函数
，

且函数
的最小正周期为
(1)求
的值和函数
的单调增区间；(2)在
中，角A、B、C所对的边分别是
、
、
，又
，
，
的面积等于
，求边长
的值．

17.（本小题满分12分）德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，

课 程

初等代数

初等几何

初等数论

微积分初步



合格的概率











（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；

（2）记
表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求
的分布列及期望
．

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD中，
为边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，
，E为PD点上一点，满足

(1)证明：平面ACE
平面ABCD；

(2)求直线PD与平面ACE所成角正弦值的大小．

19.（本小题满分12分）单调递增数列
的前
项和为
，且满足
，

(1)求数列
的通项公式；

(2)数列
满足
，求数列
的前
项和
．

20.（本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切，直线
与椭圆C相交于A、B两点.

（1）求椭圆C的方程；（2）求
的取值范围；

21.（本小题满分14分）已知函数
．

(1)若函数
在区间
上存在极值点，求实数
的取值范围；

(2)当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

(3)求证：
．（
，
为自然对数的底数）

四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

D

A

A

C

C

C

B

B



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.
12. 7 13. -540 14. 1 15.① ② ③

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16. 解：（1）因为
………2分

由
的最小正周期为
，得
………3分

即
………5分

所以，函数的增区间为
………6分

（2）



………8分

………10分

由余弦定理

………12分

17.（本小题满分12分）

18.（本小题满分12分）

(2)
，设直线
与平面
所成角大小为
，

则

19.（本小题满分12分）

(1)将
代入
(1) 解得：

当
时：
(2)

由(1)-(2)得：
整理得：

即：
或
(
)

又因为
单调递增，故：

所以：
是首项为1，公差为1的等差数列，

(2)由

得：
即：

利用错位相减法解得：

20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）由题意知
，∴
，即
又
，∴
故椭圆的方程为
……………4分

（Ⅱ）解：由
得：
…………………………6分
设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则
………………8分

∴
……10分∵
∴
， ∴
∴
的取值范围是
．………………………………………………… 13分

21.（本小题满分14分）

解（1）函数
定义域为
，
，

由
，当
时，
，当
时，
，

则
在
上单增，在
上单减，函数
在
处取得唯一的极值。

由题意得
，故所求实数
的取值范围为

(2) 当
时，不等式
．

令
，由题意，
在
恒成立。

令
，则
，当且仅当
时取等号。

所以
在
上单调递增，

因此
，则
在
上单调递增，

所以
，即实数
的取值范围为

（3）由（2）知，当
时，不等式
恒成立，

即
，

令
，则有
．

分别令
，
则有
，

将这
个不等式左右两边分别相加，则得

故
，从而
．