第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数
是纯虚数，其中是实数，则
=

A． B．
C．
D．

2． 已知
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

3．公比不为等比数列
的前项和为
，且
成等差数列．若
，则

A．
B．
C．
D．

4．如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为

A．

B．

C．

D．

5．变量
与
相对应的一组样本数据为
，
，
，
，由上述样本数据得到
与
的线性回归分析，
表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则
=

A．
B．
C．1 D．3

6．已知a是实数，则函数
的图象可能是

7．某班有24名男生和26名女生，数据
，
，┅，
是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩的平均分：A，男生平均分：M，女生平均分：W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数．那么

在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

8．若曲线
与曲线
在交点
处有公切线， 则

A．
B．

C． D．

9．已知函数
，若
，则实数的取值范围是

A．
或
B．

C．
或
D．

10．已知数列
满足
(
)，
,
，记
，则下列结论正确的是

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

11．在平面直角坐标系
中，抛物线
的焦点为，
是抛物线
上的点，若
的外接圆与抛物线
的准线相切，且该圆面积为
，则

A． B． C．
D．

12．设函数
满足
且当
时，
，又函数
，则函数
在
上的零点个数为

A．
B． C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。

13．变量，满足条件
，求
的最大值为 ．

14．已知
是双曲线


的右焦点，若双曲线
的渐近线与圆
相切，则双曲线
的离心率为 ．

15．已知向量
的夹角为
，且
，则向量
在向量
方向上的投影是 ．

16．已知、、
、四点在半径为
的球面上，且
，

，则三棱锥
的体积是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角，，
的对边分别为，
，， 若
．

（Ⅰ） 求证：、
、成等差数列；

（Ⅱ） 若
，
，求
的面积．

18．（本小题满分12分）

气象部门提供了某地今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：

日最高气温t (单位：℃)

t22℃

22℃

28℃


℃



天数

6

12







由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9．

某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t (单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：

日最高气温t (单位：℃)

t22℃

22℃

28℃


℃



日销售额
（千元）

2

5

 6

8



(Ⅰ) 求，的值；

(Ⅱ) 若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；

(Ⅲ) 在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
为平行四边形，且
平面
，
，
为
的中点，
．

(Ⅰ) 求证：
((
；

(Ⅱ) 若
， 求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知平面内与两定点
，
连线的斜率之积等于
的点的轨迹为曲线
，

椭圆
以坐标原点为中心，焦点在轴上，离心率为
．

（Ⅰ）求
的方程；

（Ⅱ）若曲线
与
交于
、
、、
四点，当四边形
面积最大时，求椭圆
的方程及此四边形的最大面积.

21．（本小题满分12分）

设
（
且
）．

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）若
，证明：
时，
成立．

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知
与圆
相切于点，直径
，连接
交
于点．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
．

23．本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程是
（为参数
）与直线
的参数方程是

（为参数）有一个公共点在轴上．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系．

（Ⅰ）求曲线
普通方程；

（Ⅱ）若点
在曲线
上，求
的值．

24．（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，已知
，求的取值范围；

（Ⅱ）若
的解集为
，求的值．

参考答案

由正弦定理得：

整理得：

故a、b、c成等差数列． …… 6分

证法二：

∵

∴

∴

整理得：

故、
、成等差数列．

解：（Ⅱ）由
，
及余弦定理得：

∴

又由（1）知
，代入上式得
，解得

∴
的面积
． …… 12分

18．解：(Ⅰ) 由已知得：

． …… 4分

(Ⅱ)

2

5

6

8



P

0.2

0.4

0.3

0.1



六月份西瓜销售额X的分布列为

．…… 9分

(Ⅲ)
,

由条件概率得：

=
． …… 12分

19．解：（Ⅰ）证明： 连接
，设
与
相交于点
，连接
，

∵ 四边形
是平行四边形，∴点
为
的中点．

∵
为
的中点，∴
为
的中位线，

∴
((
， …… 2分

∵
，

∴
((
． …… 4分

(Ⅱ) 解法一 ： ∵
平面
，
((
， 则
平面
，故
，

又
, 且
，

∴
． …… 6分

取
的中点，连接
，则
((
，且
．

∴
．

作
，垂足为
，连接
，由于
，且
，

∴
，∴
．

∴
为二面角
的平面角． …… 9分

由
∽
，得
，得
，

在
中，
．

∴ 二面角
的余弦值为
． …… 12分

(Ⅱ) 解法二： ∵
平面
，
， 则
平面
，故
，

又
, 且
，

∴
． …… 6分

以点为坐标原点，分别以
所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系
．

则
，
，
，
，
，

∴
，
，

求得平面
的法向量为
，

又平面
的一个法向量为
，

∴
.

∴ 二面角
的余弦值为
. …… 12分

20．解：（Ⅰ）设
，则
，

则
，

∴
方程为
．………4分

（Ⅱ）如图，设椭圆
的方程为
，

设
，由对称性得四边形
的面积为
，

，

∴
………8分

当且仅当
，解得
………10分

则
，解得
，

∴椭圆
的方程为
，四边形
的最大面积为4. ………12分

21．解：（Ⅰ）函数
的定义域为
，
，

当
时，
，∴函数
在
上是增函数；

当
时，
，又
；

由
得，
；由
得，

∴函数
在
上是增函数；在
上是减函数．………4分

（Ⅱ）当
时，
，

要证
时
成立，由于
，

∴只需证
在
时恒成立，

令
，则

设
，
，

∴
在
上单调递增，∴
，即
；

即
，使
在
上单调递减，在
上单调递增，

而
，

∴当
时，
恒成立，即原命题得证．………12分

22．解：（Ⅰ）证明：

解法一：
与圆
相切于点，
，

是圆
的直径，

，

，

又
，

． …………4分

解法二：连接
，

，
，

与圆
相切于点，
，

，

，

又
，

．

（Ⅱ）据（1），
，

又

∽
，

，
． …………10分

23．解：

(Ⅰ) 直线
的的普通方程为：
，与轴的交点为
，

又曲线
的普通方程为：
，所以，
，故所求曲线
普通方程是：
．

…………4分

（Ⅱ）因点
在曲线C上，即点

在曲线上．

．…………10分

24．解：

（Ⅰ）因为
，等号成立当且仅当
，

即
，故的取值范围为
．…………4分

（Ⅱ）因为

当
时，不等式
解集为，不合题意；

当
时，不等式
的解为
或

即
或
，又因为解集
，解得
．…………10分