第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数
是纯虚数，其中是实数，则
=

A． B．
C．
D．

2．如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是

直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的体积为

A． B．

C．
D．

3．已知
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

4．公比不为的等比数列
前项和为
，
，且
成等差数列，则

A．
B．
C．
D．

5．变量
与
相对应的一组样本数据为
，
，
，
，由上述样本数据得到
与
的线性回归分析，
表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则
=

A．
B．
C．1 D．3

6．已知a是实数，则函数
的图象可能是

7．某班有24名男生和26名女生，数据
，
，┅，
是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩的平均分：A，男生平均分：M，女生平均分：W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数．那么

在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的

．
，
．
，

．
，
．
，

8．已知函数
，若

，则实数的取值范围是

A．
　 B．

C．
D．

9．若曲线
与曲线
在交点
处有公切线，则

A．
B．
C． D．

10．已知数列
满足
(
)，
，
，记
，则下列结论正确的是

A．
B．
C．
D．

11．在平面直角坐标系
中，抛物线
的焦点为，
是抛物线
上的点，若
的外接圆的圆心在抛物线
上，且该圆面积为
，则

A． B． C．
D．

12．设函数
满足
，当
时
，若函数
，则函数
在
上的零点个数为

A．
B．
C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。

13．变量，满足条件
，求
的最大值为 _______________．

14．已知双曲线

的渐近线与圆
相切，则= __________________．

15．已知向量
，
的夹角为
，且
，
，则向量
在向量
方向上的投影是 ________．

16．已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上.若这两个正四棱锥的体积之比为
，则该球的表面积为____________________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角，，
的对边分别为，
，， 若
．

（Ⅰ） 求证：、
、成等差数列；

（Ⅱ） 若
，
，求
的面积．

18．（本小题满分12分）

气象部门提供了某地今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：

日最高气温t （单位：℃）

t22℃

22℃< t28℃

28℃< t 32℃


℃



天数

6

12







由于工作疏忽，统计表被墨水污染，
和数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9．

（Ⅰ） 若把频率看作概率，求
，的值；

（Ⅱ） 把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，根据已知条件完成下面
列联表，并据此你是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜 “ 旺销 ” 有关？说明理由．

高温天气

非高温天气

合计



旺销

1







不旺销



6





合计









附：

0．10

0．050

0.025

0．010

0.005

0．001





2.706

3．841

5.024

6．635

7.879

10．828





19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
为平行四边形，且
，
，
为
的中点，
，
．

（Ⅰ）求证：
((
；

（Ⅱ）求三棱锥
的高．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆


经过点
，且离心率为
，右顶点为A，左右焦点分别为
； 椭圆
以坐标原点为中心，且以
为短轴端点，上顶点为D．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若
与
交于
、
、、
四点，当
时，求四边形
的面积．

21．（本小题满分12分）

设
（
且
）．

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）若
，证明：
时，
成立．

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知
与圆
相切于点，直径
，连接
交
于点．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
．

23．本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程是
（为参数
）与直线
的参数方程是

（为参数）有一个公共点在轴上．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系．

（Ⅰ）求曲线
普通方程；

（Ⅱ）若点
在曲线
上，求
的值．

24．（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，已知
，求的取值范围；

（Ⅱ）若
的解集为
，求的值．

参考答案

一．选择题：

1． 2．C 3． 4． A． 5．C． 6．C

7．D 8．D 9．B 10．A 11．B 12．B

二、填空题：

13．
14．
15．
16．

三、解答题：

17．解：证明：（Ⅰ）证法一：

即

由正弦定理得：

即

∴

由正弦定理得：

整理得：

附件1：律师事务所反盗版维权声明

附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）

学校名录参见：http:///wxt/list.aspx?ClassID=3060

（Ⅱ）

高温天气

非高温天气

合 计



旺销

1

21

22



不旺销

2

6

8



合计

3

27

30





，

因为
，所以没有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关．

…… 12分

19．（Ⅰ）证明：连接
，设
与
相交于点
，连接
，

∵ 四边形
是平行四边形，∴点
为
的中点．

∵
为
的中点， ∴
为
的中位线，

∴
． …… 2分

∵
，

∴
((
． …… 4分

（Ⅱ）解：∵
平面
，
，则
平面
，故
，

又
, 且
，

∴
． …… 8分

取
的中点，连接
，则
，

∴
，

且
.…… 9分

设三棱锥
的高为，

由
，

有
，

得
.…… 12分

20．解：（Ⅰ）
，∴
，

则椭圆方程为
．………4分

（Ⅱ）由题意得：
的短轴长为2，设
的方程为
，

，

，
，

；

设
，

则
，解得
，
，

则由对称性得四边形
的面积为
．……………12分

21．解：（Ⅰ）函数
的定义域为
，
，

当
时，
，∴函数
在
上是增函数；

当
时，
，

由
得
；由
得，
，

∴函数
在
上是增函数；在
上是减函数．……………4分

（Ⅱ）当
时，
，

要证
时
成立，由于
，

∴只需证
在
时恒成立，

令
，则
，

设
，
，

∴
在
上单调递增，∴
，即

∴
在
上单调递增，∴

∴当
时，
恒成立，即原命题得证．……………12分

22．解：（Ⅰ）证明：

解法一：
与圆
相切于点，
，

是圆
的直径，

，

，

又
，

． …………4分

解法二：连接
，

，
，

与圆
相切于点，
，

，

，

又
，

．

（Ⅱ）据（1），
，

又

∽
，

，
． …………10分

23．解：

(Ⅰ) 直线
的的普通方程为：
，与轴的交点为
，

又曲线
的普通方程为：
，所以，
，故所求曲线
普通方程是：
．…4分

（Ⅱ）因点
在曲线C上，即点

在曲线上．

．…………10分

24．解：

（Ⅰ）因为
，等号成立当且仅当
，

即
，故的取值范围为
．…………4分

（Ⅱ）因为

当
时，不等式
解集为，不合题意；

当
时，不等式
的解为
或

即
或
，又因为解集
，解得
．…………10分