湖南省桃江县第一中学2014届高三8月月考

数学（理）试题

时 量:120分钟 分 值:150分

一. 选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集
,
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 命题“
”的否定是 ( )

A．
B．

C．
D．

3. 函数
的图象关于 对称. ( )

A. 坐标原点 B. 直线

C.
轴 D.
轴

4. 设
,向量
,且
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

5.
（ ）

A．
B．0 C．
D．1

6. 在
中角
、
、
所对的边分别是
.若
,
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

7. 下列函数中最小正周期是
且图象关于点
成中心对称的一个函数是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 若函数
,则下列关于函数
的零点个数判断正确的是 ( )

A．当
时,有4个零点;当
时,有1个零点

B．当
时,有3个零点;当
时,有2个零点

C．无论
为何值,均有2个零点

D．无论
为何值,均有4个零点

二. 填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填写在题中横线上.

9. 函数
的定义域是 .

10. 如图1,若
,且
,则向量
的夹角的

大小为 .

11. 已知直线
与曲线
(其中
为自然数2.71828…)

相切于点
,则
的点坐标为 .

12. 如图2,是函数
(其中

的部分图像,则其解析为 .

13. 已知
为
内一点,
为
中点,且
,

则

.

14. 已知函数
在区间
上是增函数,则实数
的取值范围为 .

15. 若函数
满足:①
都有
②
则

(1)
;

(2)方程
的解的最小值为 .

三. 解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分12分)

已知命题
,且
,命题
,且
.

(Ⅰ)若
,求实数
的值;

(Ⅱ)若
是
的充分条件,求实数
的取值范围.

17. (本小题满分12分)

已知函数
,
.

(Ⅰ)求函数
的值域;

(Ⅱ)求函数
的单调递增区间.

18. (本小题满分12分)

已知
．

(Ⅰ)当
时,求函数
的极大值;

(Ⅱ)若对
不等式
恒成立,求实数
的取值范围．

19. (本小题满分12分)

在
中角
的对边分别为
,且
.

(Ⅰ)求边
的长;

(Ⅱ)若
,求
的面积．

20. (本小题满分13分）

某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人每小时能加工5个A型零件或者3个B型零件,现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一种型号的零件.设加工A型零件的工人数为
名
.

(Ⅰ)设完成
型零件加工所需的时间分别为
小时,写出
与
的解析式;

(Ⅱ)当
取何值时,完成全部生产任务的时间最短?

21.(本小题满分14分)

已知函数
.

(Ⅰ)求函数
在
上的最大值;

(Ⅱ)如果函数
的图象与
轴交于两点
,且
是函数
的导函数.若正常数
满足
.求证:
.

桃江一中2014届高三第一次阶段考试

数学答案(理科)

时 量:120分钟 分 值:150分

17.【解】(Ⅰ)

………………………………………………3分

由于
,则
,故
,

也所以

18.【解】（Ⅰ）当
时,

所以
……………………………………………………2分

令
,得
,

且当
时,
,当
时,
,…………………………………5分

所以当
时
有极大值,即
为所求.…………………………………………6分

19.【解】（Ⅰ）由
可得,
,

又由余弦定理有
,…………………………………………………………2分

代入上式得

又
时,有
,

所以
;………………………………………………………………………………6分

所以
………………………………………………………7分

(Ⅱ)证明:由于
,所以
;

又
有两个不等的实根
,则
,两式相减得到

……………………………………………………………………7分

于是

……………………8分

又易知
,且已知
,所以

于是要证
,只需证
……………………9分

也即证