山西大学附中

2012-2013学年高三(4月)月考数学（文科）试卷

(考试时间：120分钟)

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1．集合A=
，集合B=
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2．设
则
的大小关系是 ( )

A.
B.
C.
D.

3.已知

A.
B.
C.
D.

4．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是



A. B． C． D．

5. 如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（ ）

A.
B.

C.
D.

6．已知复数
在复平面上对应点为
，则
关于直线
的对称点的复数表示是（ ）．

A.
B.
　 C.
D.

7.抛物线
上的点到直线
距离的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
是定义在
上的单调增函数且为奇函数，数列
是等差数列，
，则
的值（ ）．

A.恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负

9.在平面直角坐标系中，不等式
（
为常数）表示的平面区域的面积为8，则
的最小值为（ ）A．
B．
C．
D．

10.若三棱锥
的底面是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

11．如图，
，
是双曲线
：
(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过
的直线
与
的左、右两支分别交于
，
两点．若 |
| : |
| : |
|＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为（ ）A．
B．
C．2 D．

12．已知以
为周期的函数
，其中
。若方程
恰有5个实数解，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D.

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13.公比为4的等比数列
中,若
是数列
的前
项积,则有
,
,
也成等比数列,且公比为
；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列
中，若
是
的前
项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为____________.

14.已知函数
，其导函数记为
，则
.

15．设二次函数
的值域为
，则
的最小值为

16．给出下列四个命题：

①

②
，使得
成立；

③
为长方形，
，
，
为
的中点，在长方形
内随机取一 点，取得的点到
距离大小1的概率为
；

④在
中，若
，则
是锐角三角形，

其中正确命题的序号是

三、解答题：

17．（本题满分12分）在
中
分别为
,
,
所对的边，
且
（1）判断
的形状；

（2）若

，求
的取值范围

18. (本小题满分12分)

某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品
，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）. （1）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，
并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．

19．（本小题满分12分）如图，已知矩形
的边
,
,点
、
分别是边
、
的中点，沿
、
分别把三角形
和三角形
折起，使得点
和点
重合，记重合后的位置为点
。（1）求证：平面

平面
；（2）设
、
分别为棱
、
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦；

20．（本小题满分12分）

已知点
是椭圆E：
（
）上一点，
、
分别是椭圆
的左、右焦点，
是坐标原点，
轴．

（1）求椭圆
的方程；（2）设
、
是椭圆
上两个动点，

．求证：直线
的斜率为定值；ks5u

21．（本小题满分12分）

已知函数
,
,设
．ks5u

（1）求函数
的单调区间；（2）若以函数
图像上任意一点
为切点的切线的斜率
恒成立，求实数
的最小值；（3）是否存在实数
,使得函数
的图像与函数
的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，说明理由。

请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）

已知点
，参数
，点
在曲线C：
上.

（1）求在直角坐标系中点
的轨迹方程和曲线
的方程;（2）求
的最小值.

23．（本小题满分10分）已知函数

（1）若
.求证：
；

（2）若满足

试求实数
的取值范围
ks5u

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2012-2013学年高三(4月)月考数学（文科）答案

1~6DADDCD 7~12AACABB

13. 300 14. 2 15.
16.①②④.

17.试题分析：解：（1）由题意

由正弦定理知，
在
中，

或

当
时，

则
舍ks5u

当
时，
即
为等腰三角形。

（2）在等腰三角形
，

取AC中点D，由
，得

又由，

所以，
ks5u

18. 18.（1）甲相对稳定。

，

（2）从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：（108，109），（108，110），（108，112），（108，115），（108，124），（109，110），（109，112），（109，115），（109，124），（110，112），（110，115），（110，124），（112，115），（112，124），（115，124）．设A表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则A的基本事件有4种：（108，109），（108，110），（109，110），（110，112）．故所求概率为P(A)=
．

19. (1)证明:

(2)如图,建立坐标系,则

,

易知
是平面PAE的法向量, 设MN与平面PAE 所成的角为

20.解：（Ⅰ）∵PF1⊥x轴，

∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），

|PF2|=
，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，

椭圆E的方程为：
；ks5u

（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由
得

（x1+1，y1-
）+（x2+1，y2-
）=
（1,-
），

所以x1+x2=
-2
，y1+y2=
（2-
）
………①

又
，
，

两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+ 4（y1+y2）（y1-y2）=0………．．②

以①式代入可得AB的斜率k=
为定值；

试题分析：解：（I）
，

∵
，由
，∴
在
上单调递增。

由
，∴
在
上单调递减。

∴
的单调递减区间为
，单调递增区间为
。

（II）
，

恒成立

当
时，
取得最大值
。∴
，∴

（III）若
的图象与
的图象恰有四个不同得交点，即
有四个不同的根，亦即
有四个不同的根。

令
，

则

当x变化时，
、
的变化情况如下表：

x












的符号

＋

－

＋

－




的单调性











由表格知：
，

画出草图和验证
可知，当
时，
与
恰有四个不同的交点。

∴当
时，
的图象与
的图象恰有四个不同的交点。

22.【解析】

试题分析：设点P的坐标为（x，y），则有
消去参数α，可得
由于α∈[0，π]，∴y≥0，故点P的轨迹是上半圆
∵曲线C：
，即
，即 ρsinθ-ρcosθ=10，故曲线C的直角坐标方程：x-y+10=0．（2）如图所示：由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上，点P在半圆上，半圆的圆心C（1，0）到直线x-y+10=0的距离等于
．即|PQ|的最小值为
-1．

23.解：（Ⅰ）

..2分

.