试卷类型：B

秘密★启用前

2013年湖北七市（州）高三年级联合考试

数学（文史类）

本试题共4页。全卷满分150分。考试用时120分钟。

本科目考试时间：2013年4月18日下午15:00—17：00

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A={1，2，3} , B
A= {3}, B
A={1，2，3，4，5}，则集合B的子集 的个数为

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

2. 命题“
”的否定是

A
B

C
D

3. 已知a，β表示两个不同的平面，l为a内的一条直线，则“a//β是“l//β”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 函数f(x) =2x-sinx的零点个数为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 不等式
对任意a，b∈ (0，+∞)恒成立，则实数x的取值范围是

A. ( -2, 0) B. ( -∞, -2) U (0，+∞)

C. ( -4，2) D. ( -∞，-4) U (2，+∞)

6. 如右图所示，程序框图输出的所有实数对 (x，y)所对应的点都在函数

A. y =x + 1的图象上

B. y=2x的图象上

C. y=2x的图象上

D. y=2x-1的图象上

7在区间[0,
]上随机取一个数x,则事件 “sinx
cosx”发生的概率为

A
B.
C
D, 1

8. 定义：函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得
(其中c为常数）成立，则称函数f(x)在D上的几何均值为c则 下列函数在其定义域上的“几何均值”可以为2的是

A. y = x2 + 1 B. y = sinx + 3

C. y=ex(e为自然对数的底） D. y= |lnx|

9. 已知拋物线x2=4py(p>0)与双曲线
有相同的焦点F，点A 是两曲线的一个交点，且AF丄y轴，则双曲线的离心率为

A,
B.
C.
D.

10.设x,y满足约束条件
，若目标函数z =ax+by (a>0, b>0)的最大值为8，点P为曲线
上动点，则点P到点（a，b)的最小距离为

A.
B. O C.
D. 1

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置$书写不清，模棱两可均不得分.

11.若
，θ为第二象限角，则tan2θ=______

12.设复数
其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为_____.

13.已知正方形ABCD的边长为1,则｜
｜=_______.

14. 某行业从2013年开始实施绩效工资改革，为了解该行业职工工资收入情况，调查了 lOOO名该行业的职工，并由所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，由图可知中位数为:_____现要从这1000人中再用分层抽样的方法抽出1OO人作进一步调查，则月收入在[3500，4000)(元）内应抽出______人.

15.某三棱锥P-ABC的正视图为如图所示边长为2的正三角形，俯视图为等腰直角三角 形，则三棱锥的表面积是______.

16挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：

a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+…+Ln-1(bn-1-bn)+Lnbn

则其中：(I)L3= ；(Ⅱ)Ln= ．

17.若直线x=my-1与圆C:x2 +y2 + mx + ny + p = O 交于 A, B两点，且A，B两点关于直线y = x对称，则实数P的取值范围为_______.

三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18 (本小题满分12分)已知向量
=(
sin2x+2，cosx)，
=(1，2cosx)，设函数f(x)=
·
．

(I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间；

(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A=
，b=f(
),ΔABC的面积为
，求a的值

19.(本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已 知平面AA1C1C丄平面ABCD，且AB=BC＝CA=
， AD = CD =1

(I)求证：BD丄AA1;

(II)若四边形ACC1A1是菱形，且
=600，求四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的体积.

20.(本小题满分13分）数列{an}是公比为
的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=n
·bn+1(
为常数，且
≠1)．

(I)求数列{an}的通项公式及
的值；

(Ⅱ)比较
+
+
+…+
与了
Sn的大小．

21.(本小题满分14分）在矩形ABCD中，|AB|=2
，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且
=
=
.

(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆
：
+
=1上；

(Ⅱ)若M、N为椭圆
上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为
，求证：直线MN过定点

22. (本小题满分14分）已知函数f(x）=ax3 + x2 - ax (
且a
).

(I) 若函数f(x)在{-∞，-1)和（
，+∞)上是增函数￥在（
)上 是减函数，求a的值；

(II)讨论函数
的单调递减区间；

(III)如果存在
，使函数h(x)=f(x)+
,x
(b> - 1)，在x = -1处取得最小值，试求b的最大值.

2013年七市联考数学试题(文史类)（B卷）

参考答案

一、选择题：CDAAC DCCBA

二、填空题：11.
； 12.
； 13.

14. 3400 ， 25； 15.
；

16.（Ⅰ）
；（Ⅱ）
17.

（注：填空题中有两个空的，第一个空2分，第二个空3分）

18. 解：（Ⅰ）

………………………3分

∴
的最小正周期
…………………… 4分

由
得

∴
的单调递增区间为
……………………6分

（Ⅱ）
……8分

…………………10分

在
中，由余弦定理得

…………………… 12分

19.解：（Ⅰ）在四边形
中，因为
，
，所以
………2分

又平面
平面
，且平面
平面

平面
，所以
平面
………………4分

又因为
平面
，所以
． ……………………6分

（Ⅱ）过点
作
于点
，

∵平面
平面

∴
平面
，

即
为四棱柱的一条高 ……8分

又∵四边形
是菱形,且
，

∴ 四棱柱
的高为
…………9分

又∵ 四棱柱
的底面面积
,

…………………10分

∴ 四棱柱
的体积为
…………………12分

20、解：（Ⅰ）由题意
，即

解得
，∴
…………………2分

又
，即
…………………4分

解得
或
（舍）∴
…………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
…………………7分

∴
① …………………9分

又
，
…………………11分

∴
②…12分

由①②可知
…………………13分

21、解：（Ⅰ）∵
，∴
，
…………1分

又
则直线
的方程为
① …………2分

又
则直线
的方程为
② …………3分

由①②得
…………4分

……5分

∴直线
与
的交点
在椭圆
上……6分

（Ⅱ）① 当直线
的斜率不存在时，设

则
∴
,不合题意 …………8分

② 当直线
的斜率存在时，设

联立方程
得

则
，

……10分

又

即

将
代入上式得
…………13分

∴直线过定点
…………14分

22.解：（Ⅰ）
…………………1分

函数
在
和
上是增函数，在
上是减函数，

∴
为
的两个极值点，∴
即
…………………3分

解得：
…………………4分

（Ⅱ）
，
的定义域为
，

…………………5分

当
时，由
解得
，
的单调减区间为
…………7分

当
时，由
解得
，
的单调减区间为
……9分

（Ⅲ）
，据题意知
在区间
上恒成立，即
① …………………10分

当
时，不等式①成立；

当
时，不等式①可化为
② ………………11分

令
，由于二次函数
的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在端点处取得，又
，所以不等式②恒成立的充要条件是
，即
…………………12分

即
，因为这个关于
的不等式在区间
上有解，所以

…………………13分

又
，故
，
…………………14分

注：解答题中，若有不同解法，只要思路清晰，解法正确，请酌情给分。