2013年乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断性测验

文科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选 项

B

D

A

B

A

B

D

D

D

C

D

C



1.选B【解析】
.

2.选D【解析】由①得
，由②得
，由③得

，由④得
，只有②和④这两个函数在
上单调递增.

3.选A【解析】作出
确定的可行域，设
，

则
，当
时，
；当
时，
.

4.选B【解析】
为等差数列的前项和，则
为等差数列；又
，∴
，∴
，∴
，
，于是

，
，故
.

5.选A【解析】这个四面体的四个顶点可以看成是棱长为的正方体的其中的四个顶点，问题转化为求此正方体的外接球，其直径为正方体的对角线，长度为
，所以此球的表面积为
.

6.选B【解析】到抛物线的准线距离即为到抛物线的焦点
的距离，于是，问题转化为求
最小，由三角形“两边之和大于第三边”可得，需要
三点共线，也就是求
的最小值，连接圆心
和
，与圆的交点
即为所求，此时
．

7.选D【解析】根据题意，
在
上的最大（小）值在
处取得

∴
，由
，且
，得
.

8.选D【解析】
，令
，则
，得

由
是
的第个正的极小值点知，
，∴
.

9.选D【解析】连接
，与
交于
，则平面
平面
．

又
平面
，
平面
，∴

故
三点共线．而
∥
，∴
∽
，∴
，又∵
是
的中线，∴
为
的重心．

10.选C【解析】由题意得，
，故

∴
是以为周期的周期函数.又∵
∴方程
可化为
．数形结合可知
在
内各有一个实根，且这两根之和为，∴由周期性可知
在
内各有一个实根，且这两根之和为
.

11.选D【解析】∵
，
，∴
，
，

∴

≥
，而
，∴
，故点
可能在圆
上.

12.选C【解析】令
，则方程
转化为

∵
，原方程有5个不同的根，所以方程
应有一个大于2的正根与一个零根，所以
即
且
．

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13.填
.【解析】由题意得
.

14.填
.【解析】设
，由此框图得
，
.

15.填
.【解析】由
得
，即交点为
，它在椭圆
上，于是有
，化简后得
.

16.填
.【解析】设
分别是
的中点，则
，
，

又
，∴

．

三、解答题（共6小题，共70分）

17．(Ⅰ)由
及正弦定理得，
，即

，故

∵
，∴
，∴

又
，∴
； …6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，故
，而
，是
的最大内角，故
，∴

即
. …12分

18．(Ⅰ)连接
、
，设此正方体的棱长为
，

则
，为
的中点，∴
．

在
中，
．

在
中，
，

在
中，
．

在
中，
，故
，即
．

又
平面
，
，故
平面
； …6分

（Ⅱ）由
知，
，
，
，

∴
，∴
，

．

在等腰
中，
，
．

在
中，
，故
，由(Ⅰ)知
平面

设点到平面
的距离为
，∵
，解得
．

故点到平面
的距离为. …12分

19．由题意知空气质量为级的有2天，级的有3天，
级的有2天．

记空气质量为级的天数为
，级的天数为
，
级的天数为
．

从7天中任选2天，共有
，

，

等21种情形．

(Ⅰ)记事件为“从7天中任选2天，这2天空气质量等级一样”，有

5种情形，故
； …6分

(Ⅱ) 记事件B为“从7天中任选2天，这2天空气质量等级数之差的绝对值为”，有

12种情形，故
． …12分

20.(Ⅰ) 由题意知椭圆
的焦点为
，
，

直线
：
过焦点，可知为左焦点且
，又
，解得

，
，于是所求椭圆的方程为
； …4分

(Ⅱ)设
，
，直线
的方程为
，则
，
由
消去，得
，故

因为
，

．

．

由
，
，
成等比数列，得
，即

解得
． …12分

21.(Ⅰ) 当
时，
，则
，

当≥
时，
≥
，∴函数
在≥
时为增函数．

故当≥
时，
≥
，∴对≥
时，
≥
成立； …4分

（Ⅱ）设点
，曲线
在点处的切线方程为
，令
．

曲线
在点处的切线与曲线只有这一个公共点等价于函数
有唯一零点．

因为
，且
．

当≤
时，若≥
，有
≤
，∴
≤
；

若
，有
，即
．

所以曲线
上任意一点处的切线与该曲线有且仅有这一个公共点．…12分

22.（Ⅰ）∵
∥
，∴
，又
，得
．

连结
，∵
．∴
．

又点
在⊙
上，∴
是⊙
的切线； …5分

（Ⅱ）延长
交⊙
于，连结
．

由（Ⅰ）
是⊙
的切线，∴弦切角
，

于是△
∽△
．

而
，又∵
，∴
．

∴
,而
，得
．

又
，于是
． …10分

23.（Ⅰ）由
，得
，即
，

∴圆
的直角坐标方程为
． …5分

（Ⅱ）过点
的参数方程为
（为参数），将其代入圆
的方程
，得
．

∴
，故
． …10