2013年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测

理科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号（四位数字）.

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑.

（1）已知集合
，
，为实数集，则

A.
B.
C.
D.以上都不对

（2）复数
（为虚数单位）的虚部是

A.
B.
C.
D.

（3）已知平面上不共线的四点
，若
，则

A.3 B.4 C.5 D.6

（4）设
是等差数列，
是其前项的和，且
，
，则下列结论错误的是

A.
B.

C.
D.
和
均为
的最大值

（5）在平面直角坐标系中，若不等式组
(为常数)所表示的平面区域的面积等于，则的值为

A.-5 B.1 C.2 D.3

（6）设函数
在定义域内可导，
的图象如下左图所示，则导函数
的图象可能是



（7）斜率为
的直线与双曲线
（a>0，b>0）恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是

A.
B.
C.
D.

（8）已知一个棱长为的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A.8 B.

C.
D.

（9）袋中有大小相同的个红球和
个白球，随机从袋中取个球，取后不放回，那么恰好在第
次取完红球的概率是

A.
B.
C.
　　　　 D.

（10）已知函数
是以为周期的偶函数，当
时，
．若关于的方程
（
）在区间
内有四个不同的实根，则
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．

（11）运行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的值为 .

（12）已知总体的各个个体的值由小到大依次为
，且总体的中位数为，若要使该总体的标准差最小，则
．

（13）已知
的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，则展开式中常数项是______．

（14）已知直线
（
是实数）与圆
相交于
两点，且
（是坐标原点）是直角三角形，则点
与点
之间距离的最小值是 .

（15）函数
的图象为，如下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）．

①图象关于直线
对称；

②图象的所有对称中心都可以表示为
；

③函数
在区间
内是增函数；

④由
的图象向左平移
个单位长度可以得到图象．

⑤函数
在
上的最小值是
.

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

（16）(本题满分12分) 在
中，
分别是角
的对边，
，
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求边
的长.

（17）(本题满分12分)一厂家向用户提供的一箱产品共件，其中有件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.

（Ⅰ）求这箱产品被用户接收的概率；

（Ⅱ）记抽检的产品件数为，求随机变量的分布列和数学期望．

（18）(本题满分12分)在如图的多面体中，
⊥平面
，
,
，
，
，
，
，是
的中点．

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ) 求证：
；

(Ⅲ) 求二面角
的余弦值.

（19）（本题满分12分）已知数列
满足
.

（Ⅰ）证明数列
是等差数列；

（Ⅱ）求数列
的通项公式；

（Ⅲ）设
，求数列
的前项和
.

（20）（本题满分13分）已知椭圆：
(
)过点
，其左、右焦点分别为
，且
.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若
是直线
上的两个动点，且
，则以
为直径的圆是否过定点？请说明理由．

（21）（本题满分14分）设函数

，且
为
的极值点．

(Ⅰ) 若
为
的极大值点，求
的单调区间（用表示）；

(Ⅱ) 若
恰有两解，求实数的取值范围．

2013年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测

理科数学参考答案

一、选择题：每小题5分，共50分

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）



答案

B

A

A

C

D

A

D

C

B

C



（1）B.【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算，容易题.

（2）A.【命题意图】本题考查复数的概念及运算，容易题.

（3）A.【命题意图】本题考查向量的运算，容易题.

（4）C.【命题意图】本题考查等差数列的基本运算与性质，容易题.

（5）D.【命题意图】本题考查二元一次不等式(组)表示的平面区域、直线的斜率、三角形面积公式等基础知识，考查数形结合思想，容易题.

（6）A.【命题意图】本题考查导数的概念与几何意义，中等题.

（7）D.【命题意图】本题考查双曲线的性质，中等题.

（8）C.【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体体积的计算，考查空间想象能力，较难题.

（9）B.【命题意图】本题考查排列组合、古典概型等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，较难题.

（10）C.【命题意图】本题考查函数的性质与图象，考查数形结合能力，较难题.

二、填空题：每小题5分，共25分

（11）运行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的值为 .

【答案】11.【命题意图】本题考查程序框图，容易题.

（12）已知总体的各个个体的值由小到大依次为
，且总体的中位数为，若要使该总体的标准差最小，则
．

【答案】12.【命题意图】本题考查统计知识，重要不等式，容易题.

（13）已知
的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，则展开式中常数项是______．

【答案】45.【命题意图】本题考查二项式定理，考查运算能力，中等题.

（14）已知直线
（
是实数）与圆
相交于
两点，且
（是坐标原点）是直角三角形，则点
与点
之间距离的最小值是 .

【答案】
.【命题意图】本题考查直线与圆的方程，考查运算能力与数形结合能力，中等题.

（15）函数
的图象为，如下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）．

①图象关于直线
对称；

②图象的所有对称中心都可以表示为
；

③函数
在区间
内是增函数；

④由
的图象向左平移
个单位长度可以得到图象．

⑤函数
在
上的最小值是
.

【答案】①③④. 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，较难题.

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（16）(本题满分12分) 在
中，
分别是角
的对边，
，
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求边
的长.

（16）【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量的数量积定义、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题．

解：（Ⅰ）∵
，
，∴
.

∴
，
，

∴

.….……….….………6分

（Ⅱ）∵
，∴
；又由正弦定理
，得
，解得
，
，∴
，
，即边
的长为5.…………………………………12分

（17）(本题满分12分)一厂家向用户提供的一箱产品共件，其中有件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.

（Ⅰ）求这箱产品被用户接收的概率；

（Ⅱ）记抽检的产品件数为，求随机变量的分布列和数学期望．

（17）【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题.

解：（Ⅰ）设“这箱产品被用户接收”为事件，则
.

即这箱产品被用户接收的概率为
．………………………………………………………4分

（Ⅱ）的可能取值为1，2，3． ……5分

∵
，
，
，…… ………………8分

∴的概率分布列为：

1

2

3













……………10分

∴
． …………………………………………………12分

（18）(本题满分12分)在如图的多面体中，
⊥平面
，
,
，
，
，
，
，是
的中点．

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ) 求证：
；

(Ⅲ) 求二面角
的余弦值.

（18）【命题意图】本题考查线面位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题.

解：(Ⅰ)证明：∵
，∴
； 又∵
，是
的中点，∴
，且
，∴四边形
是平行四边形， ∴
. ∵
平面
，
平面
，∴
平面
. …………4分

(Ⅱ) 解法1：证明：∵
平面
，
平面
，∴
；又
，
平面
，∴
平面
. 过作
交
于，则
平面
. ∵
平面
， ∴
.

∵
，∴四边形
平行四边形，∴