2013届高三第一次模拟考试

数学（文）试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．

考生注意：

答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．1. 已知
是虚数单位，

A．
B．
C．
D．

2.设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|x≥3或x＜1}都是U的子集，

则图中阴影部分所表示的集合是(　 　)

A.{x|－2≤x＜1} B.{x|－2≤x≤2} C.{x|1＜x≤2} D.{x|x＜2}　

3． 已知函数
，则“
”是“函数
在R上

递增”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也
不必要条件

4．已知
，b=
，
，则执行如图的程序

框图后输出的结果等于

A．



B．



C．



D．

其它值





5.已知
、

、
是平面上不共线的三点，向量
，
。设
为线段
垂直平分线上任意一点，向量
，若
，
，则
等于

A.
B.
C.
D.

6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表

面积是

A.
B.

C.
D.

7．在平面直角坐标系中，不等式组
（a为常数）表

示的平面区域的面积8，则x2+y的最小值

A．



B．

0

C．

12

D．

20



8．若点O和点F（﹣2， 0）分别是双曲线
的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则
的取值范围为

A．



B．



C．



D．





9.在同一平面直角坐标系中,画出三个函数
,
,
的部分图象（如图），则（　　）

A．
为
，
为
，
为

B．
为
，
为
，
为

C．
为
，
为
，
为

D．
为
，
为
，
为

10．已知函数f（x）=|log2|x﹣1||，且关于x的方程[f（x）]2+af（x）+2b=0有6个不同的实数解，若最小的实数解为﹣1，则a+b的值为

A．

﹣2

B．

﹣1

C．

0

D．

1





第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 已知
，则
_______。

12.已知圆C过点A（1，0）和B（3，0），且圆心在直线
上，则圆C的标准方程为 。

13．从平面区域G={（a，b）|0≤a≤1，0≤b≤1}内随机取一点（a，b），则使得关于x的方程x2+2bx+a2=0有实根的概率是　_________　．　

14. 设函数f（x）=
的最大值为M，最小值为N，那么M+N=　_________　．

15.下列4个命题：

①已知
则
方向上的投影为
；

②关于
的不等式
恒成立，则
的取值范围是
；

③函数
为奇函数的充要条件是
；

④将函数
图像向右平移
个单位，得到函数
的图像

其中正确的命题序号是 （填出所有正确命题的序号）。

三．解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）已知A、B、C是三角形ABC的三内角，且

，并且

（1）求角A的大小。

（2）
的递增区间。

17. （本小题满分12分）如图，正方形
的边长为2.

(1)在其四边或内部取点
，且
，求事件：“
”的概率；

(2)在其内部取点
，且
，求事件“
的面积均大于
”的概率.

18．（本小题满分12分）

如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点，又PB=BC，PA=AB．

（1）求证：PC⊥平面BDE；

（2）若点Q是线段PA上任一点，判断BD、DQ的位置关系，并证明结论；（3）若AB=2，求三棱锥B﹣CED的体积．

19．（本小题满分12分）已知函数f（x）的图象经过点（1，λ），且对任意x∈R，

都有f（x+1）=f（x）+2．数列{an}满足
．

（1）当x为正整数时，求f（n）的表达式；（2）设λ=3，求a1+a2+a3+…+a2n；

（3）若对任意n∈N*，总有anan+1＜an+1an+2，求实数λ的取值范围．

20. （本小题满分13分）

函数


．

(1)当
时，求证：
；

(2)在区间
上

恒成立，求实数
的范围。

(3)当
时，求证：
）
．

21．（本小题满分14分）

如图，已知直线l：x=my+1过椭圆
的右焦点F，抛物线：
的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．（1）椭圆C的方程；（2）直线l交y轴于点M，且
，当m变化时，探求λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出λ1+λ2的值，否则，说明理由；（3）接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点
．

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2013届高三模拟试卷

数学（文）试卷参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

A

C

D

B

A

B

B

B



二、填空题

11．

12.

13．

14. 4021．

15. ①

三、解答题

16.解：

（1）由
,得

即
------------2分

由正弦定理得
,

即
-------------4分

由余弦定理得
,

又
，所以
--------------6分

（2）

-------------9分

因为
，且B，C均为
的内角，

所以
， 所以
，

又
，-----------------11分

即
时，
为递增函数，

即
的递增区间为
------------------12分



17. 解：

（1）
共9种情形：

-------------3分

满足
，即
，共有6种---------------5分

因此所求概率为
----------------6分

（2）设
到
的距离为
，则
，即
-----------8分

到
、
、
、
的距离均大于
----------------9分

概率为
-------------------12分

18．解：

（1）证明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC，又DE垂直平分PC，

∴DE⊥PC，且DE∩BE=E， ∴PC⊥平面BDE；----------------4分

（2）由（Ⅰ）PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，∴PC⊥BD

同理，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD，--------------6分

又PA∩PC=P， ∴BD⊥面APC，DQ?面APC， ∴BD⊥DQ．

所以点Q是线段PA上任一点都有BD⊥DQ-------------8分

（3）∵PA=AB=2，∴
， ∵AB⊥BC，

∴S△ABC=
=2
．AC=2

∴CD=
=
，-----------------9分

即S△DCB=
S△ABC，又E是PC的中点

∴V B﹣CED=
S△ABC?PA=
．----------------12分

19．解：

（1）记bn=f（n），由f（x+1）=f（x）+2有bn+1﹣bn=2对任意n∈N*都成立，

又b1=f（1）=λ，所以数列bn为首项为λ公差为2的等差数列，----------2分

故bn=2n+λ﹣2，即f（n）=2n+λ﹣2．-------------------4分

（2）由题设λ=3

若n为偶数，则an=2n﹣1；若n为奇数且n≥3，则an=f（an﹣1）=2an﹣1+λ﹣2=2?2n﹣2+λ﹣2=2n﹣1+λ﹣2=2n﹣1+1

又a1=λ﹣2=1，

即
------------------------------6分

a1+a2+a3++a2n=（a1+a3++a2n﹣1）+（a2+a4++a2n）=（20+22++22n﹣2+n﹣1）+（21+23++22n﹣1）

=（1+21+22++22n﹣1）+n﹣1=22n+n﹣2． ------------------8分

（3）当n为奇数且n≥3时，an+1an+2﹣anan+1=an+1（an+2﹣an）=2n[2n+1+λ﹣2﹣（2n﹣1+λ﹣2）]=3?22n﹣1＞0；------------------10分

当n为偶数时，an+1an+2﹣anan+1=an+1（an+2﹣an）=（2n+λ﹣2）（2n+1﹣2n﹣1）]=3?2n﹣1（2n+λ﹣2），因为anan+1＜an+1an+2，所以2n+λ﹣2＞0，

∵n为偶数，∴n≥2，

∵2n+λ﹣2单增∴4+λ﹣2＞0，即λ＞﹣2

故λ的取值范围为（﹣2，+∞）．----------------12分

20.解：

（1）明:设

则
,则
,即
在
处取到最小值,

则
,即原结论成立. -----------------------4分

（2）:由
得
即
,另
,

另
,
则
单调递增,所以

因为
,所以
,即
单调递增,则
的最大值为

所以
的取值范围为
. -------------------8分

（3）:由第一问得知
则
----------------------10分

则

--------------------------------13分

21．

（1）知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，

抛物线
的焦点坐标
，∴
∴b2=3

∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程
----------------4分

（2）知m≠0，且l与y轴交于
，

设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）

由
-----------------5分

∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0

∴
-----------------6分

又由

∴

同理
--------------------7分

∴

∵

∴

所以，当m变化时，λ1+λ2的值为定值
；-----------------9分

（3）：由（2）A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）

方法1）∵
-----------------10分

当
时，
=

=
----------------------12分

∴点
在直线lAE上，-------------------13分

同理可证，点
也在直线lBD上；

∴当m变化时，AE与BD相交于定点
------------------14分

方法2）∵
-------------------10分

-------------------11分

=
-------------------12分

∴kEN=kAN∴A、N、E三点共线，

同理可得B、N、D也三点共线；---------------------13分

∴当m变化时，AE与BD相交于定点
．-------------14分