2013届华附、省实、广雅三校

广州一模后联合适应性考试文科数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1．设全集为U，若命题p：2011∈A∩B，则命题非p为 （ ）

A. 2011∈A∪B B. 2011?A∪B

C. 2011∈
D. 2011∈

2．已知函数
，若
，
，
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

3.下列命题不正确的是

A．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直；

B．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；

C．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直；

D．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行

4.若对任意实数
，函数

在区间
上的值
出现不少于４次且不多于８次，则
的值为（ ）

A. 2 B. 4 C. 3或4 D. 2或3

5. 吴同学晨练所花时间（单位：分钟）分别为x，y，30，29，31，已知这组数据的平均数为30，方差为2，则|x－y|的值为

A．1 B．2 C．3 D．4

6. 设A1、A2为椭圆
的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的

点
，使得
，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率
的取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

7. 已知两不共线向量
，
，则下列说法不正确的是

A．
B．
与
的夹角等于

C．
D．
与
在
方向上的投影相等

若对一切
R，复数
的模不超过2，则实数
的取值范围为

A.
B. C. D.

在数列{an}中，对任意
，都有
（k为常数），则称{an}为“等差比数列”. 下
面对“等差比数列”的判断： ①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为
的数列一定是等差比数列，其中正确的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10..任意
、
，定义运算
，则
的

A.最小值为
B.最小值为
C.最大值为
D.最大值为

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分。本大题分为必做题和选做题两部分．

（一）必做题
：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

11. 若框图（图1）所给程序运行的结果
，那么

判断框中可以填入的关于
的判断条件是_ ____．

直线
与曲线
有四个交点，则
的取值范围是 .

13. 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为

选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分

14．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，
，
为
的中点，
的延长线交⊙O于点
，则线段
的长为_______.

15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,点
到曲线
上的点的距离的最小值为 .

三、解答题：本大题
共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知
（其中
）的最小正周期为
.

求
的单调递增区间;

在
中,
分别是角
的对边,已知
求角
.

17．（本小题满分12分）

（1）在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯的时间分别为30秒、5秒和40秒。当你到达路口时，求不是红灯的概率。

（2）已知关于x的一元二次函数
设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为
和
，求函数
在区间[
上是增函数的概率。

18. （本小题满分14分）

设
为抛物线
上的两个动点，过
分别作抛物线
的切线
，与
分别交于
两点，且
，若

若
，求点
的轨迹方程

（2）当
所在直线满足什么条件时，P的轨迹为一条直线？（请千万不要证明你的结论）

（3）在满足（1）的条件下，求证：
的面积为一个定值，并求出这个定值

19. （本小题满分14分）

已知函数
，
．

(1)若不等式
在区间 (
)内的解的个数；

(2)求证：

．

20. （本小题满分14分）

已知数列
的前n项和为
，且
.

（I）求数列
的通项公式

（II) 已知
，求证：

.

21.（本小题满分14分）

已知曲线
，过C上一点
作斜率
的直线，交曲线
于另一点
，再过
作斜率为
的直线，交曲线C于另一点
，…，过
作斜率为
的直线，交曲线C于另一点
…，其中
，

（1）求
与
的关系式；

（2）判断
与2的大小关系，并证明你的结论；

（3）求证：
.

2013届华附、省实、广雅三校

广州一模后联合适应性考试

数学试题（文科）参考答案和评分标准

一、选择题：（每题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

C

B

C

D

D

D

B

A

B

B



填空题（每题5分，共20分）

12．
13．
14．
15.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,

16.解:(1)

…………2分

…………4分

故递增区间为
…………6分

(2)

即
或

又
故
舍去，

. …………9分

由
得

或
,

若
,则
.

若
,则
. …………12分

注意：没有说明 "
"扣两分

17.

解：（1）基本事件是遇到红灯、黄灯和绿灯，它们的时间分别为30秒、5秒和40秒，设它们的概率的分别为P1，P2，P3，

所以不是红灯的概率P=1- P1=
………………… 6分

（2）∵函数
的图象的对称轴为

要使
在区间
上为增函数，

当且仅当
>0且
…………………………………………8分

若
=1则
=－1，

若
=2则
=－1，1；

若
=3则
=－1，1； …………………………………………10分

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5

∴所求事件的概率为
…………………………………………12分

18.解：（1）设
，
，

即
......①

同理，
......② ……………………2分

令
可求出
，

所以
……………………4分

……………………5分

由①，②，得

，

∴
……………………6分

（2）当
所在直线过
的焦点时 ……………………8分

（3）设
又由
得

所以
……………………10分

∴P到MN的距离为

……………………12分

∴

∴为定值 ……………………14分

19.解：(Ⅰ) 由
，得
。

　令
所以，方程
在区间
内解的个数即为函数
的图像与直线
交点的个数。

当
时,

. ----2分

当
在区间
内变化时,
,
变化如下:











+

0

－





增



减





当
时，
；当
时，
；当
时，
。-------------4分

所以，　（1）当
或
时，该方程无解

（2）当
或
时，该方程有一个解；

（3）当
时，该方程有两个解。　　　　　　 -----------6分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知

，∴


.

∴


. -------9分

∴

∴

.

∵

.

∴

. -----14分

20.

解：（I）当
时，
，

，可得：
，

．

…………………4分

（II）设
……………………6分

在
上单调递减，
……………………8分

∵当
时，
…………………9分

， ……………………11分

……………………13分

 ……………………14分

21．（本小题满分14分）

解：（1）由已知过
斜率为
的直线为

，

直线交曲线C于另一点

所以
=

2分

即


，
≠0，

所以
4分

（2）解：当
为奇数时，
；当n为偶数时，

因为
， 6分

注意到
，所以
与
异号

由于
，所以
，以此类推，

当
时，
；

当
时，
8分

（3）由于
，
，

所以
≥1（
，…） 9分

所以
≤
10分

所以
≤
≤
≤…≤
12分

所以
≤

14分