郑州市盛同学校2013届高三4月模拟考试

数学试题（文科）

第Ⅰ卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 若
，
，则
中元素个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

2. 复数
的共轭复数是

A．
B．
C．1 D．

3. 等差数列
前
项和
，
，则公差d的值为

A. 2 B. 3 C. 4 D. -3

4. 下列函数中，周期为
，且在区间
上单调递增的函数是

A.
B.
C.
D.

5. 命题
:函数
（
且
）的图像恒过点
；

命题
：函数
有两个零点.

则下列说法正确的是

A. “
或
”是真命题 B. “
且
”是真命题

C.
为假命题 D.
为真命题

6．已知
，且
，则锐角
的值（ ）

A.
B.
C.
D.

7．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是异面直线AC和A1D

的公垂线，则EF和BD1的关系是 （ ）

A．相交但不垂直 B．垂直相交 C．异面 D．平行

8．若函数
的图象的顶点在第四象限，则其导函数
的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

9． 如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，

则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 （ ）

A．
B．1 C．2
D．2

10、设函数

则
的值为 （ ）

A. a, b中较大的数 B. a, b中较小的数 C. a D. b

二、填空题：（每空5分，共30分）

11．若实数
,
满足约束条件
, 则目标函数
的最小值为

______.

12．已知圆
的参数方程为

为参数)，以原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
, 则直线被圆所截得的弦长是 .

13．在△ABC中，已知
,则
的值是 .

14．已知椭圆
和双曲线
有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 .

15．将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合

A、B、C，其中
，
，
，若A、B、C中的元素满足条件：
，
，
1,2，…，
，则称
为“完并集合”.

（1）若
为“完并集合”，则
的一个可能值为 .（写出一个即可）

（2）对于“完并集合”
，在所有符合条件的集合
中，其元素乘积最小的集合是 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分14分）设F1、F2分别为椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点。（1）若椭圆C上的点A（1，
）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程.

17．（本小题满分14分）如图，三棱锥
中，
底面ABC于B，
=900，
，点E、F分别是PC、AP的中点。

（1）求证：侧面
；（2）求异面直线AE与BF所成的角；

18．（本小题满分14分）2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步。已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和。在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：
当燃料重量为
吨（e为

自然对数的底数，
）时，该火箭的最大速度为4（km/s）.

（1）求火箭的最大速度
与燃料重量x吨之间的函数关系式
；

（2）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？

19. （本小题满分14分））

某校高一某班的一次数学测试成绩（满分100分）的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污染，但可见部分如下，据此解答如下问题：

(Ⅰ) 求分数在[50,60)的频率及全班人数；

(Ⅱ) 求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；

（Ⅲ）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.

20. （本小题满分14分）

设椭圆C：

过点
, 且离心率
．

(Ⅰ)求椭圆Ｃ的方程；

(Ⅱ)过右焦点
的动直线交椭圆于点
，设椭圆的左顶点为
连接
且交直线
于
，若以MN为直径的圆恒过右焦点F，求
的值

(文科)试题答案

一、选择题(每题5分，共50分)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

A

B

C

A

C

D

C

A

A





11．4 12．
13.
14．.

15.（1）7,9,11 中任一个 （2）

16、解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，

由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.……………………（2分）

又点A（1，
）在椭圆上，因此
=1得b2=3，于是c2=1.…………………（4分）

所以椭圆C的方程为
=1，焦点F1（－1，0），F2（1，0）…………………（6分）

（2）设椭圆C上的动点为K（x1， y1），线段F1K的中点Q（x，y）满足：

， 即x1=2x+1，y1=2y.……………………………………………（10分）

代入
=1得
=1.

即
为所求的轨迹方程.……………………………（14分）

17、

18、解：（1）依题意把
代入函数关系式

………………………………（4分）

所以所求的函数关系式为

整理得
………………………………………………………………（7分）

（2）设应装载x吨燃料方能满足题意，此时，
……………（10分）

代入函数关系式
…………（13分）

即 应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道………………………（14分）

19、解：(Ⅰ) 分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，

由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为＝25，-------3分

(Ⅱ) 分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4；

频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10＝0.016. -------6分

（Ⅲ）将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，

在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：

(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，

(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

(3,4)，(3,5)，(3,6)，

(4,5)，(4,6)，

(5,6)共15个，

其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，

故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是＝0.6. -------12分

20解：(Ⅰ) 由题意知
，
，解得

-------5分

(Ⅱ) 设
，

K存在时，设直线

联立
得
-------8分

又

同理
-------10分

解得
. -------12分

当k不存在时，
为等腰

　，　　由C、B、M三点共线得

综上
. - ------ 14分