北京市西城区2013年高三一模试卷

高三数学（理科） 2013.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知全集
，集合
，
，那么



（A）

（B）

（C）

（D）





2．若复数
的实部与虚部相等，则实数



（A）

（B）

（C）

（D）





3．执行如图所示的程序框图．若输出
，则输入

角

（A）

（B）

（C）

（D）





4．从甲、乙等
名志愿者中选出
名，分别从事
，
，
，
四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事
工作，则不同的工作分配方案共有



（A）
种

（B）
种

（C）
种

（D）
种





5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视

图是边长为
的正方形，该正三棱柱的表面积是

（A）

（B）

（C）

（D）





6．等比数列
中，
，则“
”是“
”的



（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件





7．已知函数
，其中
．若对于任意的
，都有
，则
的取值范围是



（A）

（B）

（C）

（D）





8．如图，正方体
中，
为底面

上的动点，
于
，且
，则点
的

轨迹是



（A）线段

（B）圆弧



（C）椭圆的一部分

（D）抛物线的一部分





第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知曲线
的参数方程为
（
为参数），则曲线
的直角坐标方程为 ．

10．设等差数列
的公差不为
，其前
项和是
．若
，
，则
______．

11．如图，正六边形
的边长为
，则

______．

12．如图，已知
是圆
的直径，
在
的延长线上，

切圆
于点
，
于
．若
，
，

则圆
的半径长为______；
______．

13．在直角坐标系
中，点
与点
关于原点
对称．点
在抛物线
上，且直线
与
的斜率之积等于
，则
______．

14．记实数
中的最大数为
，最小数为
.设△

的三边边长分别为
，且
，定义△
的倾斜度为

．

（ⅰ）若△
为等腰三角形，则
______；

（ⅱ）设
，则
的取值范围是______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数
的一个零点是
．

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）设
，求
的单调递增区间．

16．（本小题满分13分）

某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：

现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取
名同学进行学业检测．

（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有
名女同学的概率；

（Ⅱ）记
为抽取的
名同学中男同学的人数，求随机变量
的分布列和数学期望．

17．（本小题满分14分）

在如图所示的几何体中，面
为正方形，面
为等腰梯形，
//
，
，

，
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段
上是否存在点
，使平面

平面
？

证明你的结论．

18．（本小题满分13分）

已知函数
，
，其中
．

（Ⅰ）求
的极值；

（Ⅱ）若存在区间
，使
和
在区间
上具有相同的单调性，求
的取值范围．

19．（本小题满分14分）

如图，椭圆
的左焦点为
，过点
的直线交椭圆于
，
两点．当直线
经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为
．

（Ⅰ）求该椭圆的离心率；

（Ⅱ）设线段
的中点为
，
的中垂线与
轴和
轴分别交于
两点．记△
的面积为
，△
（
为原点）的面积为
，求
的取值范围．

20．（本小题满分13分）

已知集合
．

对于
，
，定义
；

；
与
之间的距离为
．

（Ⅰ）当
时，设
，
．若
，求
；

（Ⅱ）（ⅰ）证明：若
，且
，使
，则
；

（ⅱ）设
，且
．是否一定
，使
？

说明理由；

（Ⅲ）记
．若
，
，且
，求
的最大值．

北京市西城区2013年高三一模试卷

高三数学（理科）参考答案及评分标准

2013.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1． B； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．B； 7．D； 8．A．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
； 10．
； 11．

12．
，
； 13．
； 14．
，
．

注：12、14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：依题意，得
， ………………1分

即
， ………………3分

解得
． ………………5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
． ………………6分

………………7分

………………8分

………………9分

． ………………10分

由
，

得
，
． ………………12分

所以
的单调递增区间为
，
． ………………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为
， ……………1分

所以，从甲组抽取的学生人数为
；从乙组抽取的学生人数为
．………2分

设“从甲组抽取的同学中恰有
名女同学”为事件
， ………………3分

则
，

故从甲组抽取的同学中恰有
名女同学的概率为
． ………………5分

（Ⅱ）解：随机变量
的所有取值为
． ………………6分

，
，

，
．……………10分

所以，随机变量
的分布列为:























 ………………11分

． ………………13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为
，
，

在△
中，由余弦定理可得
，

所以
． ………………2分

又因为
，

所以
平面
． ………………4分

（Ⅱ）解：因为
平面
，所以
．

因为
，所以
平面
． ………………5分

所以
两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系
． ………………6分在等腰梯形
中，可得
．

设
，所以
．

所以
，
，
．

设平面
的法向量为
，则有

所以
取
，得

． ………………8分

设
与平面
所成的角为
，则
，

所以
与平面
所成角的正弦值为
． ………………9分

（Ⅲ）解：线段
上不存在点
，使平面

平面
．证明如下： ………………10分

假设线段
上存在点
，设

，所以
．

设平面
的法向量为

，则有

所以
取
，得

． ………………12分

要使平面

平面
，只需
， ………………13分

即
， 此方程无解．

所以线段
上不存在点
，使平面

平面
． ………………14分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：
的定义域为
， ………………1分

且
． ………………2分

① 当
时，
，故
在
上单调递减．

从而
没有极大值，也没有极小值． ………………3分

② 当
时，令
，得
．

和
的情况如下：





















↘



↗



故
的单调减区间为
；单调增区间为
．

从而
的极小值为
；没有极大值． ………………5分

（Ⅱ）解：
的定义域为
，且
． ………………6分

③ 当
时，显然
，从而
在
上单调递增．

由（Ⅰ）得，此时
在
上单调递增，符合题意． ………………8分

④ 当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减，不合题意．……9分

⑤ 当
时，令
，得
．

和
的情况如下表：





















↘



↗



当
时，
，此时
在
上单调递增，由于
在
上单调递减，不合题意． ………………11分

当
时，
，此时
在
上单调递减，由于
在
上单调递减，符合题意．

综上，
的取值范围是
． ………………13分

19．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：依题意，当直线
经过椭圆的顶点
时，其倾斜角为
． ………………1分

设
，

则
． ………………2分

将
代入
，

解得
． ………………3分

所以椭圆的离心率为
． ………………4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为
． ………………5分

设
，
．

依题意，直线
不能与
轴垂直，故设直线
的方程为
，将其代入

，整理得
． ………………7分

则
，，
．

………………8分

因为
，

所以
，
． ………………9分

因为 △
∽△
，

所以
………………11分

． ………………13分

所以
的取值范围是
． ………………14分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：当
时，由
，

得
，即
．

由
，得
，或
． ………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）证明：设
，
，
．

因为
，使
，

所以
，使得
，

即
，使得
，其中
．

所以
与
同为非负数或同为负数． ………………5分

所以

． ………………6分

（ⅱ）解：设
，且
，此时不一定
，使得

． ………………7分

反例如下：取
，
，
，

则
，
，
，显然
．

因为
，
，

所以不存在
，使得
． ………………8分

（Ⅲ）解法一：因为
，

设
中有
项为非负数，
项为负数．不妨设
时
；
时，
．

所以

因为
，

所以
， 整理得
．

所以
．……………10分

因为

；

又
，

所以

．

即
． ……………12分

对于
，
，有
，
，且
，

．

综上，
的最大值为
． ……………13分

解法二：首先证明如下引理：设
，则有
．

证明：因为
，
，

所以
，

即
．

所以

． ……………11分

上式等号成立的条件为
，或
，所以
． ……………12分

对于
，
，有
，
，且
，

．

综上，
的最大值为
． ……………13分