北京市延庆县2013届高三一模统考

数学（文科） 2013年3月

本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，则
=

A.
B.
C.
D.

2．命题“
”的否定是

A．
B．

C．
D．

3. 已知等差数列
，等比数列
，则该等差数列的公差为

A．3或
B．3或
C．
D．

4.已知函数
，则

A.
B.
C.
D.

5. 已知圆的方程为
，设该圆过点
的最长弦和最短弦分别为
和
，则四边形
的面积为

A.
B.
C.
D.

6.已知直线
，
，则“
”是“
”

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是

A．
B.
C．
D.

8.已知函数
的两个

零点为
，则实数
的大小关系是

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 已知
，
，向量
与
的夹角为
，则
.

10. 若复数
（为虚数单位）为纯虚数，

其中
，则
.

11. 执行如图的程序框图，如果输入
，则输出的
.

12.在
中，
依次是角
的对边，且
.

若
，则角
.

13. 设
满足约束条件
，若
，则
的取值范围是

.

14. 已知定义在正整数集上的函数
满足以下条件：

（1）
，其中
为正整数；（2）
.

则
.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. （本小题满分13分）

已知
.

（Ⅰ）求
的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）若
，求
的最小值及取得最小值时对应的
的取值．

16.（本小题满分14分）

如图，四棱锥
的底面
为菱形，
，

底面
，
，
为
的中点.

(Ⅰ)求证：
平面
；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积
；

（Ⅲ）在侧棱
上是否存在一点
，满足
平面
，

若存在，求
的长；若不存在，说明理由.

17. （本小题满分13分）

某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了
人，回答问题统计结果如图表所示．

（Ⅰ）分别求出
的值；

（Ⅱ）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人?

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．

18. （本小题满分13分）

已知函数

.

(Ⅰ)当
时，求曲线
在点
的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数
的单调性.

19. （本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，椭圆
的中心为原点，焦点
在
轴上，离心率为
.过
的直线交椭圆
于
两点，且
的周长为
.过定点
的直线
与椭圆
交于
两点（点
在点
之间）.

(Ⅰ) 求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设直线
的斜率
，在
轴上是否存在点
，使得以
、
为邻边的平行四边形为菱形.如果存在，求出
的取值范围；如果不存在，请说明理由.

20. （本小题满分13分）

是由定义在
上且满足如下条件的函数
组成的集合：

(1)对任意
，都有
；

(2)存在常数
，使得对任意的
，都有

.

(Ⅰ)设
，证明：
；

(Ⅱ)设
，如果存在
，使得
，那么这样的
是唯一的.

高三数学（文科答案） 2013年3月

一、选择题：
D D C B B A D A

二、填空题：

9.
10.
11.
12.
13.
14.

三、解答题：

15. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）

…………4分

，
最小正周期为
. …………5分

由

，得 …………6分

…………7分

…………8分

单调递增区间为
. …………9分

（Ⅱ）当
时，
， …………10分

在区间
单调递增， …………11分

，对应的
的取值为
. …………13分

16.（本小题满分14分）

(Ⅰ)证明：设
、
相交于点
，连结
，

底面
为菱形，
为
的中点，

又

为
的中点，
. …………3分

又

平面
，
平面
，

平面
. …………5分

（Ⅱ）解：因为底面
为菱形，
，所以
是边长为
正三角形，

又因为

底面
，所以
为三棱锥
的高，

. …………8分

（Ⅲ）解：因为

底面
，所以
，

又
底面
为菱形，
，

，
平面
，
平面
，

平面
，
. …………10分

在
内，易求
，
，

在平面
内，作
，垂足为
，

设
，则有
，解得
. …………12分

连结
，
，
，
，
平面
，

平面
，
平面
.

所以满足条件的点
存在，此时
的长为
. …………14分

17. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）第1组人数
， 所以
， …………1分

第2组人数
，所以
， …………2分

第3组人数
，所以
， …………3分

第4组人数
，所以
…………4分

第5组人数
，所以
. …………5分

（Ⅱ）第2,3,4组回答正确的人的比为
，所以第2,3,4组每组应各依次抽取
人，
人，人. …………8分

（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为
，第3组的记为
，第4组的记为
， 则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：

，
，
，
，
，

，
，
，
，

，
，
，

，
，

. …………10分

其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：

，
，
，
，
，

，
，
，
. …………12分

故所求概率为
. …………13分

18. （本小题满分13分）

解：函数
的定义域为
，
. …………2分

(Ⅰ) 当
时，
，
，

所以曲线
在点
的切线方程为
. …………5分

（Ⅱ）
， …………6分

（1）当
时，
，
在定义域为
上单调递增，……7分

（2）当
时，令
，得
（舍去），
，

当
变化时，
，
的变化情况如下：

此时，
在区间
单调递减，在区间
上单调递增； …………10分

（3）当
时，令
，得
，
（舍去），

当
变化时，
，
的变化情况如下：

此时，