2013年福建省普通高中毕业班质量检查

文 科 数 学

本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式

s=
　　　　V=
Sh

其中
为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V=Sh
，

其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数
，
为
的共轭复数，则下列结论正确的是

A．
B．
C．
D．

2．已知
，则下列不等式一定成立的是

A．
B．

C．
D．

3．执行如图所示的程序框图，若输入的
值为2，则输出的
值为

A．3 B．8 C．9 D．63

4．“
”是“
”的

Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而充分不条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

5．函数
的图象是

6．已知集合
，
，在集合
中任取一个元素
，则 “
”的概率是

A．
B．
C．
D．

7．已知
，
是椭圆
的两个焦点，焦距为4.若
为椭圆
上一点，且
的周长为14，则椭圆
的离心率
为

A ．
B．
C．
D．

8．若变量
满足约束条件
则
的最小值为

A．4 B．1 C．0 D．

9．设
为两条不同的直线，
是两个不同的平面，下列命题正确的是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

10．已知点
，
,
，以线段
为直径作圆
，则直线
与圆
的位置关系是

A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C．相切 D．相离

11．已知点
点
是线段
的
等分点，则
等于

A．
B．
C．
D．

12．定义两个实数间的一种新运算“*”：

.对任意实数
，给出如下结论：

①
； ②
； ③
；

其中正确的个数是

A． 0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．

13．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________人．

14．在
中，角
所对的边分别为
．已知
，
，
，则
= ．

15．若函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围是 ．

16．观察下列等式：

；

；

；

…

则当
且
表示最后结果.

（最后结果用
表示最后结果）．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

某工厂生产
两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：

7

7

7．5

9

9．5





6



8．5

8．5





 由于表格被污损，数据
看不清，统计员只记得
，且
两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．

（Ⅰ）求表格中
与
的值；

（Ⅱ）若从被检测的5件
种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．

18．(本小题满分12分)

已知函数
，
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）试写出一个函数
，使得
，并求
的单调区间．

19．(本小题满分12分)

某几何体
的三视图和直观图如图所示．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）若
是线段
上的一点，且满足
，求
的长．

20．(本小题满分12分)

某工业城市按照“十二五”（2011年至2015年）期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨，

（Ⅰ）按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？

（Ⅱ）该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为
，为使2020年这一年的SO2年排放量控制在6万吨以内，求
的取值范围.

（参考数据
，
）．

21．(本小题满分12分)

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求
的单调区间；

（Ⅱ）设函数
在点

处的切线为
，直线
与
轴相交于点
.若点
的纵坐标恒小于1，求实数
的取值范围．

22．(本小题满分14分)

某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线
，在抛物线上任意画一个点
，度量点
的坐标
，如图．

（Ⅰ）拖动点
，发现当
时，
，试求抛物线
的方程；

（Ⅱ）设抛物线
的顶点为
，焦点为
，构造直线
交抛物线
于不同两点
、
，构造直线
、
分别交准线于
、
两点，构造直线
、
．经观察得：沿着抛物线
，无论怎样拖动点
，恒有

.请你证明这一结论．

（Ⅲ）为进一步研究该抛物线
的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点
”改变为其它“定点

”，其余条件不变，发现“
与
不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“

”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．

2013年福建省普通高中毕业班质量检查

文科数学试题参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．A

7．B 8．A 9．C 10．B 11．C 12．D

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

13．8； 14．7； 15．
； 16．
．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．本小题主要考查古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．

解：(Ⅰ)因为
，

由
，得
． ① ………………………………………2分

因为
，

由
，得
． ② …………………………………………4分

由①②解得
或

因为
，

所以
． ………………………………………6分

(Ⅱ) 记被检测的5件
种元件分别为
，其中
为正品，

从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:

，
，
，
，
，

，
，
，
，
， ………………………………………8分

记“2件都为正品”为事件
，则事件
包含以下6个基本事件：

，
，
，
，
，
.……………………………10分

所以
，即2件都为正品的概率为
. ………………………………………12分

18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

解法一：(Ⅰ)因为
，………………………………………3分

所以
……………………………6分

(Ⅱ)
. …………………………………………………………7分

下面给出证明：

因为

所以
符合要求．……………………………………………………9分

又因为
，…………………………………………10分

由
得

所以
的单调递增区间为
，
.………………………………11分

又由
,得
,

所以
的单调递减区间为
，
.………………………………12分

解法二：(Ⅰ)因为
所以
，………………………………3分

又因为
所以
．………………………………6分

(Ⅱ)同解法一．

解法三：(Ⅰ)

…………………3分

………………………………6分

(Ⅱ)同解法一．

注：若通过
得到
或由
两边同时约去
得到
不扣分．

19．本小题主要考查三视图、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．

解法一：（Ⅰ）由三视图可知，几何体
为三棱柱，侧棱
，
,且
，
．………………………………………2分

，
， …………………3分

，
．……………………5分

又
，
．………………………6分

（Ⅱ）过点
作
交
于
，

由（Ⅰ）知，
，即
为
的高. ………7分

，
……………………8分

，解得
.……………………9分

在
中，
，

在
中，
，……………………10分

由
， ……………………11分

得
. ……………………12分

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）过点
作
交
于
，

由（Ⅰ）知，
，即
为
的高. ………7分

，

………8分

………9分

在
中，
，

在
中，
，……………………10分

由
， ……………………11分

得
. ……………………12分

20．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想.满分12分.

解：（Ⅰ）设“十二五”期间，该城市共排放SO2约
万吨，

依题意，2011年至2015年SO2的年排放量构成首项为
，公差为
的等差数列，……………3分

所以
（万吨）．

所以按计划“十二五”期间该城市共排放SO2约43．5万吨．……………………6分

（2）由已知得， 2012年的SO2年排放量
（万吨），……………………7分

所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9，公比为
的等比数列，…………………9分

由题意得
＜6，即
＜
，

所以
，解得
.

所以SO2的年排放量每年减少的百分率
的取值范围
<……………………12分

21．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（Ⅰ）当
时，
，
，……………………1分

所以，当
时，
；当
时，
；……………………3分

所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．……………………4分

（Ⅱ）因为
，

所以
处切线的斜率
，

所以切线
的方程为
，

令
，得

.………………………………………………5分

当
时，要使得点
的纵坐标恒小于1，

只需
，即

.……………… 6分

令
，

则
，………………………………………………………… 7分

因为
，所以
，

①若
即
时，
，

所以，当
时，
，即
在
上单调递增，

所以
恒成立，所以
满足题意.………………………………8分

②若
即
时，
，

所以，当
时，
，即
在
上单调递减，

所以
，所以
不满足题意.………………………………………9分

③若
即
时，
.

则
、
、
的关系如下表：













0







递减

极小值

递增



所以
，所以
不满足题意.………………………………11分

综合①②③，可得，当
时，

时，此时点
的纵坐标恒小于1.…………12分

22．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．

解法一：（Ⅰ）把
，
代入
，得
，……………………2分

所以
，………………………………………………………………………3分

因此，抛物线
的方程
．…………………………………………………4分

（Ⅱ）因为抛物线
的焦点为
，设
，

依题意可设直线
，

由
得
，则
①……………………6分

又因为
，
，所以
，
，

所以
，
， ……………………7分

又因为
……………………………………8分

， ②

把①代入②，得
，…………………………………………………10分

即
，

所以

，

又因为
、
、
、
四点不共线，所以

．……………………………………………11分

（Ⅲ）设抛物线
的顶点为
，定点
，过点
的直线
与抛物线
相交于
、
两点，直线
、
分别交直线
于
、
两点，则

．……………………14分

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因为抛物线
的焦点为
，设
，……………………5分

依题意,可设直线
，

由
得
，

则

所以
………………………………………………………………………………7分

又因为
，
，

所以
，
，………………………………………………………………………10分

所以
，
，………………………………………………………………………………10分

又因为
、
、
、
四点不共线，所以

.…………………………………………………11分

（Ⅲ）同解法一.

解法三：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因为抛物线
的焦点为
，设
，

依题意，设直线
，

由
得
，则
，…………………………………………6分

又因为
，
，所以
，
，

又因为

，……………………………………9分

所以
，所以
平行于
轴；

同理可证
平行于
轴；

又因为
、
、
、
四点不共线，所以

.…………………………………………………11分

（Ⅲ）同解法一. …………………………………………………14分