北京市石景山区2013届高三统一测试

数学（文）试题

本试卷共150分，考试时长120分钟，请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．

第Ⅰ卷 （选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合M= {x|x2≤4），N={x|log2 x≥1}，则M
N等于（ ）

A． [-2，2] B．{2} C．[2，+
） D． [-2,+
）

2．若复数（a－i）2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是（ ）

A． 1 B．-1 C．
D．-

3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量
=（m，n），
=（3，6），则向量
与
共线的概率为（ ）

A．
B．

C．
D．

4．执行右面的框图，输出的结果s的值为（ ）

A．-3 B．2

C．
D．

5．设a∈R，则“a=l”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．函数y= 2sin（
）（0≤x≤
）的最大值与最小值之和为（ ）

A．0 B．2

C．-1 D．-l

7．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是（ ）

A．
B．

C．5 D．

8．若直角坐标平面内的两点p、Q满足条件：①p、Q都在函数y=f（x）的图像上；②p、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．

已知函数f（x）=
，则此函数的“友好点对”有（ ）对．

A． 0 B． 1
C．2 D． 3

第Ⅱ卷 （非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．函数f（x）=（x－a）（x+2）为偶函数，则实数a= 。

10．在△ABC中，若∠B=
，b=
，则∠C= 。

11．在等差数列{an}中，al=-2
013，其前n项和为Sn，若
=2，则
的值等于 。

12．设抛物线y2= 4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若∠AQB=90o，则直线l的方程为 。[来源:Zxxk.Com]

13．如图，在矩形ABCD中，AB=
BC =2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若
·
=
，则
·
的值是____ ．

14．观察下列算式：

l3 =1,

23 =3+5,

33 = 7+9+11,[来源:学科网ZXXK]

43 =1
3 +15 +17 +19 ，

… … … …

若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n= ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

已知函数f（x）=sin（2x+
）+cos 2x．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间。

（Ⅱ）在△ABC中，内角A
、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）=
，a=2，B=
，求△ABC的面积．

16．（本小题满分13分）

PM2．5
指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．

石景山古城地区2013年2月6日至I5日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示．

（Ⅰ）计算这10天PM2．5数据的平均值并判断其是否超标：

（Ⅱ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2．5日均监测数据未超标的概率
：[来源:学科网ZXXK]

（III）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2．5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率．

17．（本小题满分14分）

如图，在
底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90o，PD⊥平面ABCD，AD =1，AB=
，BC =4。

（I）求证：BD⊥PC；

（II）设AC与BD相交于点D，在棱PC上是否存在点E，使得OE∥平面PAB? 若存在，确定点E位置。

18．（本小题满分14分）

已知函数f（x）=ax－1－1n x，a
R．

（I）讨论函数f（x）的单调区间：

（II）若函数f（x）在x=l处
取得极值，对
x∈（0，+
），f（x）≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．

19．（本小题满分13分）

设椭圆C：
=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为
，
左焦点F1到直线
：
的距离等于长半轴长．

（I）求椭圆C的方程；

（II）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N
两点，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（m，O），求实数m的取值范围。

[来源:学*科*网Z*X*X*K]

20．（本小题满分13分）

给定有限单调递增数列{xn}（n∈N*，n≥2）且xi≠0（1≤ i ≤n），定义集合A={（xi，xj）|1≤i，j≤n，且i，j∈N*}．若对任意点A1∈A，存在点A2∈A使得OA1⊥OA2（O为坐标原点），则称数列{xn}具
有性质P。[来源:Zxxk.Com]

（I）判断数列{xn}：-2，2和数列{yn}：-2，-l
，1，3是否具有性质P，简述理由。

（II）若数列{xn}具有性质P
，求证：

①数列{xn}中一定存在两项xi，xj使得xi+xj =0：

②若x1=-1, xn>0且xn>1，则x2=l。