试卷类型：A

肇庆市中小学教学质量评估

2015—2016学年第二学期统一检测题

高二数学（文科）

本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将考生号涂黑.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：线性回归方程
中系数计算公式：

，
，其中
，
表示样本均值.

列联表随机变量
.
与k对应值表：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设
是虚数单位，则复数
在复平面内所对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（2）函数
在点
处的导数是

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）设
的共轭复数是它本身，其中
为实数，则
=

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为

（A）
（B）
（C）
（D）
或

（5）已知
是
的充分不必要条件，则
是
的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也必要条件

（6）在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的

（A）若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病

（B）从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病

（C）若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推断出现错误

（D）以上三种说法都不正确.

（7）如果复数
的实部和虚部相等，则
等于

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）函数
的单调递增区间为

（A）
与
（B）
（C）
（D）

（9）下列说法中错误的个数是

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；

②设有一个回归方程
＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；

③线性回归方程
＝bx＋a必过(
，
)；

④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则有99.9%的把握认为这两个变量间有关系．

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

（10）若函数
在区间
单调递增，则
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）若曲线
的一条切线L与直线
垂直，则L的方程是

（A）
?（B）
?（C）
? （D）

（12）若定义在
上的函数
满足
，其导函数
满足
，则下列结论中一定错误的是

（A）
（B）
（C）
（D）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

（13）命题“
”的否定是 ▲ .

（14）观察下列等式：
根据上述规律，第五个等式为 ▲ .

（15）已知函数
，直线
与曲线
相切，则
▲ .

（16）某种产品的广告费支出
与销售额
之间有如下对应数据（单位：百万元）.

根据上表提供的数据， 求出
关于
的线性回归方程为
， 则表中
的值为 ▲ .

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分10分）

在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数）. 以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.

（Ⅰ）求
和
在直角坐标系下的普通方程；

（Ⅱ）已知直线
和曲线
交于
两点，求弦
中点的极坐标.

（18）（本小题满分12分）

某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：

价格
（元/kg）

10

15

20

25

30



日需求量
（kg）

11

10

8

6

5





（Ⅰ）求
关于
的线性回归方程；

（Ⅱ）当价格
元/kg时，日需求量
的预测值为多少？

（19）（本小题满分12分）

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生



5





女生

10







合计





50



已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为
.

（Ⅰ）补充完整上面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？

（Ⅱ）若采用分层抽样的方法从喜爱打篮球的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？

（20）（本小题满分12分）

如图所示，在直三棱柱
中，已知
，
．设
的中点为
，
．

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）证明：
.

（21）（本小题满分12分）

已知函数
（
为常数）的图像与
轴交于点
，曲线
在点
处的切线斜率为
.

（Ⅰ）求
的值及函数
的极值；

（Ⅱ）证明：当
时，
.

（22）（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，讨论
的单调区间；

（Ⅱ）设
，当
有两个极值点为
，且
时，求
的最小值.

2015—2016学年第二学期统一检测题

高二数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

D

A

A

C

A

D

B

D

A

C



二、填空题

（13）
（14）
（15）0 （16）50

三、解答题

（17）（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由
得
，得
，

所以
的普通方程为
. （3分）

因为
，所以
的普通方程为
. （5分）

（Ⅱ）由
得
（7分）

，弦
中点的横坐标为
，代入
得纵坐标为
， （9分）

弦
中点的极坐标为：
（10分）

（18）（本小题满分12分）

解: (Ⅰ)
, （1分）

, （2分）

, （3分）

.（4分）

. （6分）

. （8分）

所求线性回归方程为
. （9分）

(Ⅱ)由(Ⅰ)知当
时,
. （11分）

故当价格
元/ kg时，日需求量
的预测值为
kg. （12分）

（19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）这50人中喜爱打篮球的人数为
（人）. （1分）

列联表补充如下：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生

20

5

25



女生

10

15

25



 合计

30

20

50



（4分）

∵K2＝≈8.333＞7.879， （7分）

∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关． （8分）

（Ⅱ）男生应抽取的人数为
（人）， （10分）

女生应抽取的人数为
（人）. （12分）

（20）（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）依题意知
是
的中点，又因为
是
的中点，

所以
是
的中位线，所以
. （2分）

又因为
， （3分）

所以
平面
. （5分）

（Ⅱ）在直三棱柱
中，
，
，所以
.

（6分）

又因为
，所以
. （7分）

又因为
，所以
. （8分）

因为
，所以矩形
是正方形，所以
. （9分）

因为
，
，所以
. （11分）

又因为
，所以
. （12分）

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由
，得
. （1分）

又
，得
. （2分）

∴
，
，令
，得
. （3分）

当
时，
，所以
在
上单调递减；当
时，
，所以
在
是单调递增； （4分）

∴当
时，
取得极小值，且极小值为
，无极大值. （6分）

（Ⅱ）令