枣阳市第一中学2016-2017学年高二暑假开学考试

数学检测题

★ 祝考试顺利 ★

时间：120分钟 分值150分_

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）

1．若直线
和
是异面直线，
在平面
内，
在平面
内，是平面
与平面
的交线，则下列命题正确的是（ ）

A．至少与
，
中的一条相交

B．与
，
都相交

C．至多与
，
中的一条相交

D．与
，
都不相交

2．函数
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

3．三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则
的值是( )

A．1 B．－1 C．3 D．4

4．已知函数
，则下列结论正确的是（ ）

A．函数
在区间
上为增函数

B．函数
的最小正周期为

C．函数
的图像关于直线
对称

D．将函数
的图像向右平移
个单位，再向上平移1个单位，得到函数
的图像。

5．若
，
是异面直线，直线
，则
与
的位置关系是( ).

A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行

6．已知角
的终边过点
，则
的值是（ ）

A．

B．

C．
或

D．随着
的取值不同其值不同

7．已知各项均为正数的等比数列
中，
成等差数列，则
（ ）

A. 27 B.3 C.
或3 D.1或27

8．在等差数列
中，
为其前n项和，若
=8，则
（ ）

A．16 B．24 C．32 D．40

9．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知
，若向量
与向量
共线，则
的最大值为（ ）

A．6 B．4 C．3 D．

11．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积为

12．若直线ax－by＋1＝0平分圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是(　　)

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）

13．函数
的最大值为 ．

14．已知三角形两边长分别为2和2
，第三边上的中线长为2，则三角形的外接圆半径为

15．如图，在三棱锥
中，
，
，平面
平面
，
为
中点，点
分别为线段
上的动点（不含端点），且
，则三棱锥
体积的最大值为________．

16．若球O的球面上共有三点A、B、C，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的
经过A、B、C这三点的小圆周长为
，则球O的体积为 ．

三、解答题（70分）

17．（本题满分12分）

已知函数
，不等式
的解集是
．

（1）求实数
的值；

（2）
对于
恒成立，求实数
的取值范围．

18．（本题12分）已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：
＝3n2an＋
，an≠0，n≥2，n∈N*．

(1)若数列{an}是等差数列，求a的值；

(2)确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{an}是递增数列．

19．(本小题满分12分)

已知函数

（Ⅰ）求函数f (x)的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f (x)的单调减区间.

20．（本题12分）已知数列
满
，求数列
的通项公式。

21．（本题12分） 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.

22．（本题12分） 如图所示的几何体中，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1=2，CC1∥AA1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.

参考答案

1．A

【解析】若直线
和
是异面直线，
在平面
内，
在平面
内，是平面
与平面
的交线，则至少与
，
中的一条相交，故选A．

考点：空间点、线、面的位置关系．

2．D

【解析】

它的最小值为
，故选D。

3．B

【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A＞90°－B，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B＞0，同理cos A－sin C＜0，所以点P在第四象限，
＝－1＋1－1＝－1，故选B.

4．C.

【解析】
；

①当
，则
，函数
在区间
上为减函数，故①错误；

，则
,
为
的最大值，所以

函数
的图像关于直线
对称，故②错误，③正确；

将函数
的图像向右平移
个单位，再向上平移1个单位，得到
的图像，故④错误；故选C.

考点：三角函数的图像与性质.

5．C

【解析】

试题分析：在正方体中考虑，设
为直线
，
为直线
，当
为直线
时满足
，则
与
异面，当
为直线
时满足
，则
与
相交，故
与
的位置关系是异面或相交.

考点：空间中直线与直线的位置关系.

6．B

【解析】

试题分析：∵角
的终边过点
，∴

=
,∴
.

考点：任意角的三角函数值.

7．A

【解析】

试题分析：因为
成等差数列，可得
，即
，即
，解得
（
舍去），
.

考点：等差数列的性质，等比数列的性质.

8．D．

【解析】

试题分析：
，选D．

考点：等差数列性质

9．B

【解析】

试题分析：基本事件有
个，点数依次成等差数列的有：

（1）当公差
时，1，1,1；2,2，2；．．．共6个．

（2）当公差
时，1，2,3；2,3，4；3,4,5；4,5,6；共4个．同理公差
时，也有4个．

（2）当公差
时，1，3,5；2,4，6；共2个．同理公差
时，也有2个．

所以
,故选B．

考点：随机事件，古典概型，等差数列．

【思路点晴】本题是随机事件，古典概型及等差数列的综合应用。骰子落地时成等差数列这一事件根据等差数列的公差不同，可以分为几个基本事件。将这几个基本事件一一列举，汇总所有基本事件的个数，就是本题中事件发生的次数。再根据随机事件发生的概率
，计算出结果．

10．A

【解析】

试题分析：向量
与向量
共线，所以
.

，

所以
.

考点：1、共线向量；2、重要不等式.

11．A

【解析】该几何体的直观图如图所示：

为一四棱锥，其底 面
是正方形，
平面
，
,
.

,又
,∴
，∴正方形

的面积
，∴
.故选A.

12．B

【解析】依题意知直线ax－by＋1＝0过圆C的圆心(－1，2)，即a＋2b＝1，由1＝a＋2b≥2
，ab≤
，故选B.

13．

【解析】

试题分析：根据题意有


，可以判断出函数在给定区间上是单调减的，可知函数在
处取得最大值，且最大值为
．

考点：三角函数的性质，函数的最值的求解．

14．2

【解析】

考点：余弦定理；正弦定理．

分析：设AB=2，AC=2
，AD=2，D为BC边的中点，BC=2x，则BD=DC=x，由cos∠ADB=
，cos∠ADC=
且cos∠ADB=-cos∠ADC，代入可求BC，则可得A=90°，外接圆的直径2R=BC，从而可求

解答：解：设AB=2，AC=2
，AD=2，D为BC边的中点，BC=2x，则BD=DC=x

△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=
，

△ADC中，由余弦定理可得，cos∠ADC=

∴
=-

∴x=2

∴BC=4

∴AB2+AC2=BC2即A=90°

∴外接圆的直径2R=BC=4，从而可得R=2

故答案为：2

点评：本题主要考查了利用余弦定理求解三角形的应用，直角三角形的性质的应用，属于三角知识的综合应用．

15．

【解析】

试题分析：因为
且
为
中点，所以
，因为平面
平面
，由面面垂直的性质定理可得
，即
。因为
，所以
为直角三角形，则
，令

，则
，当且仅当
即
时取
。

考点：1面面垂直的性质定理；2棱锥的体积；3基本不等式。

16．288π

【解析】略

【答案】（1）
；

（2）
的单调递增区间是
，单调递减区间是
．（12分）

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数的不等式的解集，结合韦达定理可知参数a,b的值，求解解析式。

（2）要使得不等式
对于
恒成立，，只要求解函数f(x)的最小值即可。转化与划归思想的运用。

解（1）设
，则
，

所以
（3分）

又
是
上的奇函数，则
，
（4分）

所以，
（6分）

（2）函数
的图像略

（画图像关键点必须画准确，如顶点、端点、点的虚实，变化趋势等9分）

根据函数
的图像可知，
的单调递增区间是
，

单调递减区间是
．（12分）

考点：本题主要考查了一元二次不等式的应用，二次函数性质的运用。体现了分类讨论的数学思想．

点评：解决该试题的关键是能结合不等式的解集得到参数的取值进而得到解析式，而对于恒成立的问题，通常转化为最大值或者最小值问题来处理即可。

18．（1）3（2）

【解析】

试题分析：（1）数列{an}是等差数列，故可从特殊情形出发：先求出a2＝12－2a，a3＝3＋2a．再利用a1＋a3＝2a2，解得a＝3．最后验证.（2）先由通项与和项关系，将已知条件转化为递推关系：an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．an＋2－an＝6，(n≥2)，即数列a2，a4，a6， ，及数列a3，a5，a7， 都是公差为6的等差数列，要使数列{an}是递增数列，须有a1＜a2
，解得
＜a＜
．

试题解析：（1）在
＝3n2an＋
中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得

(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，

因an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a． 2分

因数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3． 4分

经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝
，Sn－1＝
满足
＝3n2an＋

（2）由
＝3n2an＋
，得
－
＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，

即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，① 6分

所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②

②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③ 8分

所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④

④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)

即数列a2，a4，a6， ，及数列a3，a5，a7， 都是公差为6的等差数列， 10分

因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．

所以an＝