唐山一中2016年9月份调研考试

数学试题

命题人：宁立伟 审核人：毛金丽

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

注意事项：

答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在等差数列
中，若
,则
等于

A.
B. 2 C.
D. 4

2.过A(1，3),B(4，2),C(1，-7)三点的圆交y轴于M,N两点，则|MN|=

A.
B. 8 C.
D. 10

3. 设变量x、y满足约束条件
则
的最大值为

A.3 B. 2 C. 4 D.6

某工厂为了对一种新型的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销售，得到如下数据：

由表中数据，求得线性回归方程为
，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的概率为

A.
B.
C.
D.

5．由正整数组成的一组数据
，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据的立方和为

A.70 B.60 C.50 D.56

6. 已知不等式
对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为

A.2 B.4 C. 6 D.8

7.在
内角
的对边分别是
，
面积为S，若
，则cosA等于

A.
B.-
C.
D. -

8. 如果圆C：
上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是

A.
B.

C.（-1,0）
(0,1) D.（-1,1）

9. 若曲线
与直线
有2个公共点，则k的取值范围是

A. (0,
] B.(
,
] C.[
,
) D.[
,1)

10. 已知函数

，则函数
在区间
上的最大值和最小值分别是

A.最大值为
，最小值为-1 B.最大值为
，最小值为-

C.最大值为2
-1，最小值为-2
-1 D.最大值为1，最小值为-1

11. 已知直线x+y-k=0（k>0）与圆
交于不同的两点A、B，O是坐标原点,若
，则实数k=

A. 1 B.
C.
D. 2

12. 设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意的x都有f(2-x)+f(x)=0恒成立，如果实数m，n满足不等式组
则
的取值范围是

A. （3,7） B. （9,25） C.（13,49） D.（9,49）

第II卷（非选择题 共90分）

注意事项：第II卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。

二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。）

13.已知数列
为等比数列，若
，则
的值为 。

14.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 。

15.设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x，y)，则
的最大值为 。

16.
的内角为A,B,C，点M为
的重心，如果
=
,则内角A的大小为 。

三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）

已知
内角
的对边分别是
，，且满足
。

（I） 求角A；

（Ⅱ）若a=
，求b+c的取值范围。

18. （本小题满分12分）

已知等差数列
的前n项和为
，且

（I） 求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
满足
，求
的前n项和为
。

19. （本小题满分12分）

已知以点A（-1,2）为圆心的圆与直线x+2y+7=0相切，过点B（-2,0）的动直线l与圆A相交于M,N两点。

（I） 求圆A的方程；

（Ⅱ）当|MN|=
时，求直线l的方程。

20. （本小题满分12分）

某工人生产合格零件的产量逐月增长，前5个月的产量如表所示：

（I）若从这5组数据中抽取两组，求抽出的2组数据恰好是相邻的两个月数据的概率；

（Ⅱ）请根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程
；并根据线性回归方程预测该工人第6个月生产的合格零件的件数。

21．（本小题满分12分）

某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（
）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为
万元（a>0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x％。

（I） 若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（Ⅱ）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

22.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，已知圆C经过A（2，-2），B（1,1）两点，且圆心在直线x-2y-2=0上。

（I）求圆C的方程；

（Ⅱ）过圆C内一点M（1，-1）作两条相互垂直的弦EF,GH，当EF=GH时，求四边形EGFH的面积；

（Ⅲ）设直线l与圆C相交于P,Q两点，PQ=4，且
的面积为
，求直线l的方程。

2016年9月调研考试数学参考答案

一.选择题：1-12ACCBD BDACA BC

二.填空题：13. 100 14.
15. 5 16.

17．解：（Ⅰ）∵cosB=
，c（acosB﹣
b）=a2﹣b2，

∴a2+c2﹣b2﹣bc=2a2﹣2b2，即a2=b2+c2﹣bc，

∵a2=b2+c2﹣2bccosA，

∴cosA=
，

则A=
；

（Ⅱ）由正弦定理得
=
=
=
=2，

∴b=2sinB，c=2sinC，

∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（A+B）=2sinB+2sinAcosB+2cosAsinB

=3sinB+
cosB=2
sin（B+
），

∵B∈（0，
），

∴B+
∈（
，
），

∴sin（B+
）∈（
，1]，

则b+c∈（
，2
]．

18.（1）
（2）

19. （1）由题意知：A到直线l1的距离为：

∴圆的方程为：
…………………………………4分

（2）当直线l的斜率不存在时为

此时圆心A到直线l的距离为
，满足|MN|＝

当直线l的斜率存在时设为

由|MN|＝
，
知，圆心A到直线l的距离为

∴
∴l的方程为

综上所诉：直线l的方程为
或
……………………12分

20. (1)P（A）=
=
；

（2）由数据求得
=3，
=72，

xiyi=1200，

=55，

故
=
=
=12，

∴
=
﹣

=36，

∴y关于x的线性回归方程为
=12x+36，

当x=6，
=108（件），

即预测该工人第6个月生产的合格零件的件数为108件．

21．解：（1）由题意得：10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，

即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．

即最多调整500名员工从事第三产业．

（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为
万元，

从事原来产业的员工的年总利润为
万元，

则
（1+0.2x%）

所以

，

所以ax≤
，

即a≤
恒成立，

因为

，

当且仅当
，即x=500时等号成立．

所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5，

即a的取值范围为（0，5]．

22.

1）因为A（2，﹣2），B（1，1），

所以kAB=
=﹣3，AB的中点为（
，﹣
），

故线段AB的垂直平分线的方程为y+
=
（x﹣
），即x﹣3y﹣3=0，…

由
，解得圆心坐标为（0，﹣1）．…

所以半径r满足r2=12+（﹣1﹣1）2=5．…

故圆C的标准方程为x2+（y+1）2=5．…

（2）∵EF=GH，

∴C到直线EF，GH的距离相等，设为d …

则
=1，即d=
…

∴EF=GH=2
=3
…

∴四边形EGFH的面积S=
×
=9…

（3）设坐标原点O到直线l的距离为h，

因为△POQ的面积S=
=
，

∴h=
．

①当直线l与x轴垂直时，由坐标原点O到直线l的距离为
知，直线l的方程为x=
或x=﹣
，

经验证，此时PQ≠4，不适合题意； …

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+b，

由坐标原点到直线l的距离为h=
=
，得k2+1=25b2 （），…

又圆心到直线l的距离为c=
，所以PQ=2
=4，

即k2+1=（1+b）2 （），…

由（），（）解得
．…

综上所述，直线l的方程为3x+4y﹣1=0或3x﹣4y+1=0．

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