许昌市五校联考高二第一次考试

文科数学试卷

考试时间：120分钟 分值：150分

一、选择题：（每题5分，计60分）

1. 已知集合
，那么集合
的子集个数为（ ）

A．
个 B．
个 C．
个 D．
个

2. 设
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长

为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm），则

此几何体的侧面积是( )

A.

B.

C. 8
D. 14

4. 已知函数
是R上的增函数，则
的取值范围是（ ）

A．
≤
＜0 B．
≤
C．
≤
≤
D．
＜0

5. 函数
恒过定点为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．下列命题中错误的是（　）

A．如果
，那么
内一定存在直线平行于平面

B．如果
，那么
内所有直线都垂直于平面

C．如果平面
不垂直平面
，那么
内一定不存在直线垂直于平面

D．如果
，
，
，那么
[:.]

7. 阅读如下程序框图，如果输出
，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方

体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(　　)

A.  B.  C.  D. 

9．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距
，低潮时水深为
，高潮时水深为

．每天潮涨潮落时，该港口水的深度
（
）关于时间
（
）的函数图象可以

近似地看成函数
的图象，其中
，且
时涨潮到一

次高潮，则该函数的解析式可以是（ ）

A．
B．

C．
D．

10.已知
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH

的表面积为T，则
等于( )

A.
B.
C.
D.

12.已知
是圆
的直径，点
为直线
上任意一点，则

的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（每题5分，计20分）

13.化简
的结果是 .

14.已知两条直线
，
平行，则
等于_________.

15.已知函数

，且

.若
的部分图象如下，

且与
轴交点
，则

16.对函数
，有下列说法：

①
的周期为
，值域为
； ②
的图象关于直线
对称；

③
的图象关于点
对称； ④
在
上单调递增；

⑤将
的图象向左平移
个单位，即得到函数
的图象.

其中正确的是_______.（填上所有正确说法的序号）.

三、解答题：（共6题，计70分)

17.(本题满分10分)

已知平面向量
．

（1）若
，求
； （2）若
与
夹角为锐角，求
的取值范围．

18.(本题满分12分)

（1）已知
，且
，求
；

（2）已知
都是锐角，且
，
求

19.（本小题满分12分）

某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段
，
…，
，
，然后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及

格）和平均分；

（3）把从
分数段选取的最高分的两人组成B

组，
分数段的学生组成C组，现从B，C两组中选两人参加科普知识竞

赛，求这两个学生都来自C组的概率.

20.（本小题满分12分）

如图4,在边长为1的等边三角形
中,
分别是
边上的点,
,
是
的中点,
与
交于点
,将
沿
折起,得到如

图5所示的三棱锥
,其中
.

(1) 证明:
//平面
; (2) 证明:

平面
;

(3) 当
时,求三棱锥
的体积
.

21.（本题满分12分）

已知圆
，直线
，且直线
与圆
交于
两点.

（1）若
，求直线
的倾斜角.

（2）若点
满足
，求此时直线
的方程.

22.（本小题满分12分）

已知函数
的部分图象如下图所示.

（1）求函数
的解析式；

（2）当
，
，若
， 求
的值；

（3）若
且方程
在
上有解，求实数
的取值

范围.

数学答案（文科）

选择题

1—5 BACCB 6---10 BBCAB 11---12 DD

二. 填空题

13. 0 14.
或
15.
16. ①②④

解答题

17. 解:（1）
或
；（2）

18.（本题满分12分）

解：（1）

，
,

；

（2）
是锐角，且
，
，

，
，

，

是锐角，
，
.

19.（本题满分12分）

（3）
分数段的学生人数为：
人，即C组只有3人；把从B组抽取的2人记为
、
；
组的3人记为
、
、
，则从B、C两组的5人中抽选2人去参加竞赛的基本事件有：（b1,b2）,（b1,c1）, (b1,c2）, （b1,c3）, （b2,c1）, （b2,c2）, （b2,c3）,( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共10种.设选中的2人都来C组的事件为
,则
包含的基本事件有( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共3种.

因此
. 故选中的2人都来自C组的概率为
………………12分

20. （1）
,在折叠后的三棱锥
中

也成立,
,
平面
,

平面
,
平面
; ………………… 6分

(2)在等边三角形
中,
是
的中点,所以
①,
.
在三棱锥
中,
,
②

;(3)由(1)可知
,结合(2)可得
.

21、（本题满分12分）

（1）由圆
，得圆的半径
，又
，

故弦心距
.再由点到直线的距离公式可得
,∴
,解得
.即直线
的斜率等于
，

故直线
的倾斜角等于
或

（2）设
，由题意
可得

，∴
，即
.①再把直线方程
代入圆
，化简可得

，

由根与系数关系可得
.②，

由①②解得
，故点
的坐标为
.

把点
的坐标代入圆
的方程可得
，即
，

故直线
的方程为
或
.

22.（1）由图知
, （解法只要合理，均可给分）

,

;

（2）

;

（3）

,

,

,

.

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/