成都龙泉高中高2015级高二（上）入学考试试题

数 学（理）

（满分150分，时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．

1．若点
到直线
的距离是
，则实数
为 （ ）

A．－1 B．5 C．－1或5 D．－3或3

2．已知平面向量
，
，
，下列命题正确的是（　　）

A．若
=
，
=
，则
=
B．若|
|=|
|，则
=

C．若λ
=0（λ为实数），则λ=0 D．若
∥
，
∥
，则
∥

3．如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（　　）

A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6

4．已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（　　）

A．a＞b?am2＞bm2 B．

C．
D．

5．登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：

气温x（°C）

18

13

10

﹣1



山高y（km）

24

34

38

64





由表中数据，得到线性回归方程
，由此请估计出山高为72（km）处气温的度数为（　　）

A．﹣10 B．﹣8 C．﹣4 D．﹣6

6．过点（﹣2，5）且垂直于直线2x﹣4y+15=0的直线方程为（　　）

A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0

7．已知⊙C的圆心在曲线y=
上，⊙C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．8

8．若sinα=
，α∈[
，π]，则sin（
+α）的值为（　　）

A．﹣
B．
C．﹣
D．

9．将函数y=sin2x的图象向左平移
个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（　　）

A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．
D．y=cos2x

．

10．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（　　）

A．30° B．45°

C．60° D．90°

11．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15

12．已知函数f（x）=cos（
x），a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为（　　）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分

13．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=
b，则
　．

14．已知
为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
满足
（λ∈R），则
的最小值为　 　．

15．已知数列{an}是首项为4，公差为3的等差数列，数列{bn}满足bn（an
+an+1
）=1，则数列{bn}的前32项的和为　 　．

16．已知函数f（x）=
sin2ωx﹣cos2ωx+
（其中ω为常数，且ω＞0），函数g（x）=f（x）﹣
的部分图象如图所示．则当x∈[﹣
]时，函数f（x）的取值范围是　　．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知函数f（x）=2sinx?cosx+2
cos2x﹣

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；

（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足f（
﹣
）=
，且sinB+sinC=
，求bc的值．

18．（12分）已知
=（
sinx，2cosx），
=（3，﹣
），x∈R．

（1）若f（x）=
?
，试求f（x）的值域；

（2）若x=
，且满足2
﹣
与
+
相互垂直，求λ的值．

19．（12分）某电子原件生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：

（1）2件都是一级品的概率；

（2）至少有一件二级品的概率．

20．（12分）如图在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知AD=PD，PA=6，BC=8，DF=5，求证：

（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面DEF⊥平面ABC．

21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，
．M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点．

（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；

（Ⅱ）若P为线段BB1的中点，求证：A1N∥平面APM；

（Ⅲ）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．

22．（12分）已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数；又定义行列式
； 函数
（其中
）．

（1）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值．

（2）若记集合M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

成都龙泉高中高2015级高二（上）入学考试试题

数 学（理）（解析版）

（满分120分，时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．

1．若点
到直线
的距离是
，则实数
为 （ C ）

A．－1 B．5 C．－1或5 D．－3或3

2．已知平面向量
，
，
，下列命题正确的是（　A　）

A．若
=
，
=
，则
=
B．若|
|=|
|，则
=

C．若λ
=0（λ为实数），则λ=0 D．若
∥
，
∥
，则
∥

3．如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（　D　）

A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6

4．已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（　C　）

A．a＞b?am2＞bm2 B．

C．
D．

5．登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：

气温x（°C）

18

13

10

﹣1



山高y（km）

24

34

38

64





由表中数据，得到线性回归方程
，由此请估计出山高为72（km）处气温的度数为（　D　）

A．﹣10 B．﹣8 C．﹣4 D．﹣6

6．过点（﹣2，5）且垂直于直线2x﹣4y+15=0的直线方程为（　A　）

A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0

7．已知⊙C的圆心在曲线y=
上，⊙C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是（　C　）

A．2 B．3 C．4 D．8

8．若sinα=
，α∈[
，π]，则sin（
+α）的值为（　C　）

A．﹣
B．
C．﹣
D．

9．将函数y=sin2x的图象向左平移
个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（　A　）

A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．
D．y=cos2x

．

10．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（　C　）

A．30° B．45°

C．60° D．90°

11．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（　A　）

A．12 B．13 C．14 D．15

12．已知函数f（x）=cos（
x），a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为（　B　）

A．
B．
C．
D．

．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分

13．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=
b，则

　．

14．已知
为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
满足
（λ∈R），则
的最小值为　
　．

15．已知数列{an}是首项为4，公差为3的等差数列，数列{bn}满足bn（an
+an+1
）=1，则数列{bn}的前32项的和为　
　．

16．已知函数f（x）=
sin2ωx﹣cos2ωx+
（其中ω为常数，且ω＞0），函数g（x）=f（x）﹣
的部分图象如图所示．则当x∈[﹣
]时，函数f（x）的取值范围是　[﹣
，
+1]　．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知函数f（x）=2sinx?cosx+2
cos2x﹣

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；

（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足f（
﹣
）=
，且sinB+sinC=
，求bc的值．

【分析】（1）f（x）解析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期，由正弦函数的单调性确定出f（x）的单调递减区间即可；

（2）由f（x）解析式，以及f（
﹣
）=
，求出A的度数，将sinB+sinC=
，利用正弦定理化简，求出bc的值即可．

【解答】解：（1）f（x）=2sinx?cosx+2
cos2x﹣
=sin2x+
cos2x=2sin（2x+
），

∵ω=2，∴f（x）的最小正周期T=π，

∵2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z，

∴f（x）的单调减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈Z；

（2）由f（
﹣
）=2sin[2（
﹣
）+
]=2sinA=
，即sinA=
，

∵A为锐角，∴A=
，

由正弦定理可得2R=
=
=
，sinB+sinC=
=
，

∴b+c=
×
=13，

由余弦定理可知：cosA=
=
=
，

整理得：bc=40．

18．（12分）已知
=（
sinx，2cosx），
=（3，﹣
），x∈R．

（1）若f（x）=
?
，试求f（x）的值域；

（2）若x=
，且满足2
﹣
与
+
相互垂直，求λ的值．

【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，即可求得f（x）的解析式，由正弦函数性质即可求得f（x）的值域；

（2）当x=
，代入求得
，根据向量的坐标运算分别求得2
﹣
与
+
，利用向量垂直的定义，代入即可求得λ的值．

【解答】解：（1）f（x）=
?
=
sinx×3+2cosx×（﹣
）

=
sinx﹣cosx，

=2sin（x﹣
），

由正弦函数的性质可知：﹣1≤sin（x﹣
）≤1，

∴﹣2≤sin（x﹣
）≤2，

f（x）的值域[﹣2，2]；

（2）当x=
，
=（
，1），

∴2
﹣
=（﹣2，
）

+
=（
，
），

∵（2
﹣
）⊥（
+
），

∴（2
﹣
）?（
+
）=0，

×（﹣2）+
×
=0，

解得：λ=
，

λ的值
．

19．（12分）某电子原件生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：

（1）2件都是一级品的概率；

（2）至少有一件二级品的概率．

【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，从10件产品中抽取2件，共有C102个基本事件，而满足条件的事件的结果有C82，根据等可能事件的概率公式得到结果．

（2）至少有一件二级品包括抽取的2件产品中包含了一件一级品，一件二级品与抽取的2件产品均为二级品，这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到结果．

【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

设2件都是一级品为事件A．…

从10件产品中抽取2件，共有C102=45个基本事件，且都是等可能的

而事件A的结果有C82=28种，…

则P（A）=
． …

（2）设至少有一件二级品为事件B，…

则B是两个互斥事件：“抽取的2件产品中包含了一件一级品，

一件二级品（记为B1）”与“抽取的2件产品均为二级品（B2）”的和． …

而P（B1）=
，P（B2）=
，…

∴P（B）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2） …

=
． …

答：2件都是一级品的概率为
；至少有一件二级品的概率为
．

20．（12分）如图在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知AD=PD，PA=6，BC=8，DF=5，求证：

（1）直线PA∥平面DEF；

（2）平面DEF⊥平面ABC．

【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；

（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可

【解答】证明：（1）因为D，E是PC，AC中点，

∴PA∥DE

∵DE?平面DEF，PA?平面DEF，

∴PA∥平面DEF；

（2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，

∴PA=2DE，BC=2FE

∵PA=6，BC=8，DF=5

∴DE=3，EF=4，DF=5，

∴DE2+EF2=DF2∴DE⊥EF，

∵PD=AD，D为PC的中点

∴AD=DC

∵E为AC的中点，

∴DE⊥AC

∵AC∩EF=E，

∴DE⊥平面ABC，

∵DE?平面DEF，

∴平面DEF⊥平面ABC．

21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，
．M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点．

（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；

（Ⅱ）若P为线段BB1的中点，求证：A1N∥平面APM；

（Ⅲ）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）由已知推导出AM⊥BC，BB1⊥底面ABC，BB1⊥AM，从而AM⊥平面BB1C1C，由此能证明平面APM⊥平面BB1C1C．

（Ⅱ）取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C，则四边形A1AMD为平行四边形，从而A1D∥AM，进而A1D∥平面APM；进一步推导出DN∥B1C，MP∥B1C，则DN∥MP，从而DN∥平面APM，进而平面A1DN∥平面APM，由此能证明A1N∥平面APM．

（Ⅲ）假设BC1与平面APM垂直，则BC1⊥PM．设PB=x，
．推导出
，从而得到直线BC1与平面APM不能垂直．

【解答】（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB=AC，所以AM⊥BC．

又因为BB1∥AA1，且AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC．

因为AM?底面ABC，所以BB1⊥AM，

又BB1∩BC=B，

所以AM⊥平面BB1C1C．

又因为AM?平面APM，

所以平面APM⊥平面BB1C1C． …

（Ⅱ）取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C．

由于D，M分别为C1B1，CB的中点，所以DM∥A1A，且DM=A1A．

则四边形A1AMD为平行四边形，所以A1D∥AM．

又A1D?平面APM，AM?平面APM，所以A1D∥平面APM．

由于D，N分别为C1B1，C1C的中点，所以DN∥B1C．

又P，M分别为B1B，CB的中点，所以MP∥B1C．

则DN∥MP．又DN?平面APM，MP?平面APM，所以DN∥平面APM．

由于A1D∩DN=D，所以平面A1DN∥平面APM．

由于A1N?平面A1DN，所以A1N∥平面APM．…10分

解：（Ⅲ）假设BC1与平面APM垂直，

由PM?平面APM，则BC1⊥PM．

设PB=x，
．当BC1⊥PM时，∠BPM=∠B1C1B，

所以
∽Rt△∠B1C1B，所以
．

由已知
，

所以
，得
．

由于
，

因此直线BC1与平面APM不能垂直． …

22．（12分）已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数；又定义行列式
； 函数
（其中
）．

（1）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值．

（2）若记集合M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

【分析】（1）由已知可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，由定义表示出g（θ），根据二次函数的性质分类讨论可表示出其最大值，令其为4可求m值；

（2）由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，则M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，从而M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，转化为不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0，
]恒成立，分离出参数m后，转化为求函数的最值即可，变形后借助“对勾函数”的性质可求得最值；

【解答】解：（1）f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，又f（x）是奇函数，

∴f（x）在（0，+∞）也是增函数，

g（θ）=sin2θ﹣m（3﹣cosθ）=﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1=﹣
，

∵θ∈[0，
]，∴cosθ∈[0，1]，

g（θ）的最大值只可能在cosθ=0（
），cosθ=1（
），
处取得，

若cosθ=0，g（θ）=4，则有1﹣3m=4，m=﹣1，此时
，符合；

若cosθ=1，g（θ）=4，则有﹣2m=4，m=﹣2，此时
，不符合；

若
，g（θ）=4，则有
，m=6+4
或m=6﹣4
，此时
或3
，不符合；

综上，m=﹣1．

（2）∵f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且满足f（2）=0，∴f（﹣2）=0，

又f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上均是增函数，

由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，

又M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，

∴M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，即不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0，
]恒成立，

当m＞
=

=﹣（3﹣cosθ）﹣（
）+6=﹣[（3﹣cosθ）+（
）]+6，

∵θ∈[0，
]，∴cosθ∈[0，1]，3﹣cosθ∈[2，3]，

∴7≥（3﹣cosθ）+（
）
，﹣[（3﹣cosθ）+（
）]+6∈[﹣1，﹣
]，

此时，m＞﹣
；

当m＜

=﹣（3﹣cosθ）﹣（
）+6

=﹣[（3﹣cosθ）+（
）]+6，

∴6≥（3﹣cosθ）+（
）
，﹣[（3﹣cosθ）+（
）]+6∈[0，6﹣4
]，

此时，m＜0；

综上，m∈（﹣
，0）．

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