苍溪中学校课改高2013级高二（上）入学考试

数学试题（理）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 已知
中，
，
，
，那么角
等于（ ）

A．
B.
或
C.
D.

2. 在等差数列｛a
｝中，已知a
=2,a
+a
=13，则a
+a
+a
等于（ ）

A.40 B.42 C.43 D.45

3、已知
是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）

A．
，
?
B．
，
?

C．
?
共面 D．
共点?
共面

4. 在△ABC中，若
，则△ABC的形状是（ ）

A．锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定

5.如右图为一个几何体的三视图，其中府视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则该几何体的表面积为（ ）

A． 6+
B. 24+
C. 24+2
D. 32

6．若数列
为等差数列，且
，则
（ ）

A． 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )

A．BD∥平面CB1D1 B. AC1⊥BD

C.AC1⊥平面CB1D1 D. 异面直线AD与BC1所成的角为60°

8. 设等比数列
各项均为正数，且
，则
( )

A． 12 B． 10 C． 8 D．

9.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=
,则角B的值为( )

A．
B.
C.
或
D.
或

10. 对一切实数
，当实数
变化时，
的最小值是（ ）

A. 2 B.3 C.4 D.5

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分）

11. 不等式
的解集为 ．

12. 在等差数列
中,若
,则
______.

13. 设
是等差数列，Sn为其前n项的和。若
，则
____；当Sn取得最小值时，n=____。

14.设常数
,若
对一切正实数
成立,则
的取值范围为 .

15.下列5个命题中正确的序号是______。

（1）在等比数列
中
，则
的取值范围是

（2）在直线上任取两点
，把向量
叫做该直线的方向向量。则任意直线的方向向量都可以表示为向量
。(
为该直线的斜率）

（3）已知G是△ABC的重心，且
，其中
分别为角A、B、C的对边，则
=

已知正项等比数列
满足
，若存在两项
使得
，则
的最小值为

在空间中若一个n面体中有m个面是直角三角形，则称这个n面体的“直度”为.已知长方体ABCD－A1B1C1D1，那么四面体A－A1B1C1的“直度”是0.5

三、解答题（本大题共6小题，共计75分）

16.（本小题12分）（12分）在公差为
的等差数列
中,已知
,且
成等比数列.

（1）求
; (2)若
,求此数列前
项的和
的最大值

17. （本小题12分）已知定义在
上的函数
(其中
).

（Ⅰ）解关于
的不等式
;

（Ⅱ）若不等式
对任意
恒成立,求
的取值范围.

18. （本小题12分）在△ABC中，a、b是方程x2－2
x+2=0的两根，且2cos(A+B)=1.

(1)求角C的度数；(2)求c;(3)求△ABC的面积.

19. （本小题12分）运货卡车以每小时
千米的速度匀速行驶130千米

（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油
升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用
关于
的表达式；（2）当
为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

20 （本小题13分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥
中，
，
平面
，且
，点
是
的中点.

(1) 求证：
；

(2) 求证：
平面
；

21. （本小题14分）

已知数列
的前n项和Sn=9-6n．

（1）求数列
的通项公式．

（2）设
，求数列
的前n项和．

（3）
，求数列
的通项公式

苍溪中学校课改高2013级高二（上）入学考试数学试题（答案）

入学考试数学参考答案

一、选择题（每小题5分，共计50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

B

C

C

B

D

B

D

B



二、填空题（每小题5分，共计25分）

11.
； 12.15； 13. －11，6； 14.
15.4

三、解答题（本大题共5小题，共计44分）

16. 解:(Ⅰ)由已知得到:

;(Ⅱ)由(1)知,当
时,
,

故

17.解：（Ⅰ）
，

而
，
等价于
，于是

当
时，
，原不等式的解集为
；

当
时，
，原不等式的解集为
；

当
时，
，原不等式的解集为

（Ⅱ）不等式
，即
恒成立

又当
时，
=

(当且仅当
时取“=”号).

18. (1)∵2cos(A+B)=1，∴cosC=－
. ∴角C的度数为120°. …………5分

(2)∵a、b是方程x2－2
x+2=0的两根，∴a+b=2
，ab=2, ……7分

c2=a2+b2－2abcosC=(a+b)2－2ab(cosC+1)=12－2=10. ∴c=
.……10分

(3)S=
absinC=
. …14分

19.

20. 解：（1）由
平面
可得PA(AC

又
，PA与AB是相交直线

所以AC(平面PAB，

…………………6分

(2)如图，连BD交AC于点O，连EO，则

EO是△PDB的中位线，(EO
PB

(PB
平面
…………………12分

21. （理）

解：（1）
时，
∴

时，
∴
………2分，

∴通项公式
………4分

（2）当
时，
∴

时，
∴

∴

(
=1时也符合) ………9分

（3）∵

,

两边同时乘以2n,得
即
∴数列{
+4}是以6为首项，4为公比的等比数列，
+4 = 6×4n-1，∴
（n≥2）　………9分

又C1=1, 满足上式 ∴通项公式
………14分

法二:(迭代法)

=
= …… =

=

又C1=1, 满足上式 ∴通项公式

20、（文）

解：（Ⅰ）由已知，当n=1时，
。………………1分

当
时，

………………3分

综上，
………………4分

（Ⅱ）（i）

所以
………………6分

两式相减，得
…8分

所以
………………9分

（ii）因为
……10分

令
，得
………………12分

所以
，且
，即
最大， ………………13分

又
。

所以，
的最大值为
………………14分