一选择题

1已知集合
，
，则
（ ）

A
B
C
D

2已知是i虚数单位，若
，则
（ ）

A 1 B
C
D

3函数
在点
处的切线方程是（ ）

A
B
C
D

4函数
的值域为（ ）

A B
C
D

5若函数
有大于零的极值点，则实数的取值范围是（ ）

A
B
C
D

6用数学归纳法证明“
”时，

从
到
，等式的左边需要增乘的代数式是（ ）

A
B
C
D

7通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男

女

总计



爱好

40

20

60



不爱好

20

30

50



总计

60

50

110















3.841

6.635

10.828



由
算得，

参照附表，得到的正确结论是：

A有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

8一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数
是一个随机变量，则
的值为（ ）

A
B
C
D

-1

0

1













9设
是一个随机变量，其分布列为：

则
（ ）

A 1 B
C
D

10从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A：取到的2个数之和为偶数；事件B：取到的2个数均为偶数；则
（ ）

A
B
C
D

11国庆节放假，甲去北京旅游的概率为
，乙、丙去北京旅游的概率分别为
，
。假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ）

A
B
C
D

12已知定义在
上的函数
，其导函数为
，且
恒成立，

则（ ）

A
B
C
D

二填空题

13函数
的定义域为 ；

14由直线
与曲线
所围成的封闭图形的面积为 ；

15下列命题：①线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②残差平方和越小的模型，拟合效果越好；③用相关指数
来刻画回归效果，
越小，说明模型拟合效果越好；④随机误差是衡量预报精确度的一个量，它满足
。

其中正确的是 （填序号）。

16在
中，两直角边分别为
设
为斜边上的高，则
；由此类比三棱锥
中的三条侧棱
两两垂直，且长度分别为
，设棱锥底面
上的高为
，则 （填一个）。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17（本小题满分10分）

在平面直角坐标系
中，直线
过点
且倾斜角为
，在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，轴的正半轴为极轴）中，圆
的方程为
。

（1）求直线
的参数方程及圆
的直角坐标方程；

（2）设圆
与直线
交于
两点，若点的坐标为
，求
。

18（本小题满分12分）已知函数
（为自然对数的底）

（1）试确定函数
的单调区间；（2）求函数
在
上的最大值和最小值。

19（本小题满分12分）下表是某次自主招生考试中，某学习小组的4名同学的数学、物理成绩：

学 生

A

B

C

D



数学（）

130

125

120

145



物理（）

125

120

105

130



（1）根据表中数据，用最小二乘法求物理分数关于数学分数的回归直线方程
；

（2）若某同学在此次考试中数学得分为116。利用（1）中所求出的直线方程预测他本次考试的物理成绩。

附：回归方程
其中
，

20（本小题满分12分）我国高铁技术发展迅速，铁道部门计划在
两城市之间开通高速列车，假设列车在试运行期间，每天在
，
两个时间段内各发一趟由城开往城的列车（两车发车情况互不影响），城发车时间及概率如下表所示：

发车时间

8:10

8:30

8:50

9：10

9:30

9:50



概率















若甲、乙两位旅客打算从城到城，他们到达城火车站的时间分别是周六的
和周日的
。（只考虑候车时间，不考虑其他因素）

（1）求甲、乙两人候车时间相等的概率；

（2）设乙候车所需时间为随机变量
，求
的分布列和数学期望
。

21（本小题满分12分）已知函数
的图像过点
且在此点处的切线斜率为1。

（1）求函数
的单调减区间；

（2）若
，存在
使得
成立，求实数的取值范围。

22（本小题满分12分）已知函数

（1）若函数
的极大值为2，极小值为-2，试求
的值；

（2）在（1）的条件下，若函数
，试讨论函数
的零点个数。

理科数学答案

2）
在
上减，在
上增；
，

，

甲、乙两人候车时间相等的概率


6分

（2）
的所有可能取值为10,30,50,70,90（单位：分钟），所以
的分布列为：

10

30

50

70

90