2015届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考

数 学（理科）

命题学校：广东广雅中学 命题：高二理数备组 审核：徐广华

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

参考公式：
（
是锥体的底面积，
是锥体的高）

第一部分选择题（共40分）

一．选择题（本大题共8道小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）

1.集合为函数
的值域，集合
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

2.双曲线
的两渐近线方程为( )

A．
B．
C．
D．

3.已知
均为单位向量，且
，那么向量与
的夹角为( )

A．
B．
C．
D．

4.下列函数既有零点，又是单调函数的是( )

A．
B．
C．
D．

5.将函数
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象,

则( )

A．
B．

C．
D．

6.三棱锥
的主视图和俯视图为如图所示的两个全等的等腰三角形，其中底边长为，腰长为
，则该三棱锥左视图的面积为( )

A．
B．
C．
D．

7.为轴上异于原点
的定点，过动点作轴的垂线交轴于点，动点满足
，则点的轨迹为( )

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

8. 对于平面直角坐标系内的任意两点
，
定义它们之间的一种“距离”：

给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则
；

②在
中，
；

③在
中，若
，则
．

其中错误的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

第二部分非选择题（110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。

9.用系统抽样的方法从容量为
的总体中抽取容量为
的样本，则总体中每个个体被抽到的概率为

10.如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果

是 .

(注:“
”也可写成“
”或“
”，均表示赋值语句)

11.在
中，
分别是角
的对边，已知

，则

12.设
满足
，则
的取值范围是 .

13.已知
等比数列是正项数列，且
，其前
项的和为
，
恒成立，则
的最大值为 .

14.已知为圆
上的任意一点，若到直线
的距离小于的概率为
，则= .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分12分）

已知
.

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）在
中，角
所对的边分别为
，若
，
，求
的值．

16.（本题满分12分）

荔湾西村在11月至12月的空气质量监测中获得一组样本数据，现根据国家的PM2.5空气污染指数等级将监测结果分成如下五组：第一组“优秀[0,50)”、第二组“良好[50,100)”、第三组“轻度污染[100,150)”、第四组“中度污染[150,200)”和第五组“重度污染[200,250]”，已知第一组至第五组数据的频率之比为
，第一组数据的频数是4.

(I) 求出样本容量，并估计西村11月至12月空气质量为优良等级（优秀或良好）的概率；

(II)从空气质量等级是优秀等级或重度污染等级的数据中抽取2份数据，求抽出的两份数据都是优秀等级的概率.

17.（本题满分14分）

如图，四棱锥
的底面是直角梯形，其中
，
，顶点在底面
的射影落在线段
上，是
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

(III)若
，求三棱锥
的体积.

18.（本题满分14分）

已知二次函数
是定义在上的偶函数，且关于的不等式
的解集为
.

（I）求
的解析式；

（II）设
，且当
时，函数
的最小值为，求实数
的值.

19.（本题满分14分）

已知
，设
是单调递减的等比数列
的前项和，
，且
、
、
成等差数列.

(I)求数列
的通项公式；

(II)数列
满足
，
，求数列
的通项公式；

(III)在满足(II)的条件下，若
，求数列
的前项和
.

20.（本题满分14分）

已知椭圆
经过点
，且椭圆的离心率
，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点
及
.

（I）求椭圆的方程；

（II）求证：
为定值；

(Ⅲ) 求
的最小值.

2015届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考理科数学答案

一、选择题

1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.A 7.D 8.C

二．填空题

9.
10.
11.
12．
13.
14．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解：（Ⅰ）

……3分

∴由
（
）, 得
， ……5分

即函数
的单调递增区间为
（
） ……6分

（Ⅱ）由
得
，
∴
，即
，

……8分

根据正弦定理，由
，得
，故
， ……9分

∵
，∴
， ……10分

∵
，

∴


……12分

16.解：(I)设样本容量为，则
，解得
， ……2分

空气质量为优秀或良好等级的频率为
. ……5分

(II)测试结果为优秀等级[0,50)的有
天，设为
……6分

测试结果为重度污染等级[200,250]的有
天，设为
……7分

设抽取的两份数据为
，则
共有如下15种情况：

、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
， ……9分

两份数据都是优秀等级的有如下6种情况：
、
、
、
、
、

……10分

设“两份数据都是优秀等级”为事件A，则
.

答：抽出的两份数据都是优秀等级的概率为
……12分

17.（Ⅰ）证法一：取
中点，连结
，

∵
分别是
的中点，

∴
，又
，且
，

∴
，且

∴四边形
是平行四边形， ……2分

∴
……3分

又∵
，
， ……4分

∴
平面
……5分

证法二：取
中点
，连结

∵
分别是
的中点，∴
，

又∵
，
，∴
平面
……1分

∵
，且
，∴四边形
是平行四边形，∴

又∵
，
，∴
平面
……2分

，
，∴
平面
……4分

∵
，∴
平面
……5分

（Ⅱ）

证法一：顶点在底面
的射影落在线段
上，

设为
，则

∵
，∴
……6分

∵
中，
，
中，
，

∴
∽
，∴
，故

即