2015届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考

文科数学

命题学校：广州市第六中学 命题人：刘旭升

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式：
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.

第（Ⅰ）卷 选择题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数y=log2(x-1)的定义域为A，实数集R为全集，则
= （ ）

A．（1,
） B．（
,1
C．[1,
D．(
,1

2．已知等比数列
满足
，则
的公比为 （ ）

A．8 B．-8 C． 2 D．-2

3．已知向量
，若
，则实数m的值为 （ ）

A．0 B．2 C．
D．2或

4．若函数f(x)＝
有零点，则实数b的取值范围是 (　 　)

A．（1,
） B． (
,1
C．（0,
） D．(
,0

5．在长为4的线段上任取一点，则该点到两端点的距离均不小于1的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

6．如图1，M、N、P为正方体AC1的棱AA1、A1B1、A1D1的中点，现沿截面MNP切去锥体A1-MNP，则剩余几何体的侧视图（左视图）为 （ ）



7．对于任意实数k，直线l：
与圆C：
的位置关系为 （ ）

A．可能相交也可能相切 B．只可能相交 C．只可能相切 D．相离

8．当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”。则离心率为
的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

9．将函数
的图象向右移动
个单位，所得图象刚好关于原点对称，则的最小值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
，函数
，则满足不等式
的实数a的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

11．
=___________。

12．已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴，若抛物线上一点M（1, m）到焦点距离为2，则抛物线的标准方程是____________。

13．按如图2所示的程序框图运行程序后，输出的结果是
，则判断框中的整数
_________。

14．设集合为平面内的点集，对于给定的点A，若存在点
，使得对任意的点
，均有
，则定义
为点A到点集的距离。已知点集

，则平面内到的距离为1的动点A的轨迹所围成图形的面积为_______________。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为
，且图象经过点（0，
）。

（Ⅰ）求
的表达式；

（Ⅱ）若
，其中为第四象限角，求
的值。

16．（本小题满分12分）

某校从参加高二模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其英语成绩（均为整数）分成六组
后得到如右所示的部分频率分布直方图（图3）。观察图形信息，回答下列问题：

（Ⅰ）求分数在
内的频率；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段
的学生中抽取一个容量为6的样本，再从中任取2人，求至多有1人在分数段
内的概率。

17．（本小题满分14分）

如图4（1），矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使面ABE平面BCD（如图4（2））。

（Ⅰ）若M为AC的中点，证明：DM//面ABE；

（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积。

18．（本小题满分14分）

已知数列
的各项均大于1，前n项和
满足
。

（Ⅰ）求
及数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
，求证：
。

19．（本小题满分14分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数。当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。研究表明：当
时，车流速度是车流密度的一次函数。

（Ⅰ）当
时，求函数
的表达式；

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）

20．（本小题满分14分）

已知椭圆：

的离心率
，椭圆左右顶点分别为A、B，且A到椭圆两焦点的距离之和为4。设P为椭圆上不同于A、B的任一点，作PQ⊥x轴，Q为垂足。M为线段PQ中点，直线AM交直线l：x=b于点C，D为线段BC中点（如图5）。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）试判断O、B、D、M四点是否共圆，并说明理由。

2015届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考文科数学答案

1．B 2．C 3．C 4．C 5．A 6．B 7．B 8． B 9．D 10．A

11．1 ； 12．y2=4x； 13．5； 14．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为
，且图象经过点（0，
）。

（Ⅰ）求
的表达式；

（Ⅱ）若
，其中为第四象限角，求
的值。

15．解：（Ⅰ）依题
……………………………………2分

又图像过点（0，
），故
…………………3分

因为
，所以
……………………………………………5分

所以
…………………………………………6分

（Ⅱ）由
得
， ………………………………7分

因为为第四象限角，所以
…………………9分

所以
…………11分

所以
…………………………………12分

16．（本小题满分12分）

某校从参加高二模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其英语成绩（均为整数）分成六组
后得到如右所示的部分频率分布直方图（图3）。观察图形信息，回答下列问题：

（Ⅰ）求分数在
内的频率；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段
的学生中抽取一个容量为6的样本，再从中任取2人，求至多有1人在分数段
内的概率。

16、解：（Ⅰ）分数在[120，130)内的频率为1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3。……………4分

（Ⅱ）依题意，[110,120)分数段的人数为：60×0.15=9人，

[120,130)分数段的人数为：60×0.3=18人 ………………… …………………………5分

∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，

∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120,130)分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d； …………………………………………………………………………7分

设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件共有：(m，n)、(m，a)、…、(m，d)、(n，a)、…、(n，d)、(a，b)、…、(c，d)共15种.事件A包含的基本事件有： (m，n)、(m，a)、(m，b) 、(m，c)、(m，d)、 (n，a)、(n，b)、(n，c)、(n，d)共9种。

此为古典概型，∴ P(A)
……………………………………………………………11分

答：至多有1人在分数段
内的概率为
。………………………………………………12分

17．（本小题满分14分）

如图4（1），矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E为AD的中点，将△ABE沿BE折起，使面ABE平面BCD（如图4（2））。

（Ⅰ）若M为AC的中点，证明：DM//面ABE；

（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积。

17.（Ⅰ）证明：取AB中点N，连MN、EN，……………………………………………………1分

因为M为AC中点，所以MN//BC，MN=
BC，故
，MN=DE，

所以MNED为平行四边形………………………………………………………………3分

所以MD//NE，……………………………………………………………………………4分

因为NE?面ABE，DM面ABE，所以DM//面ABE………………………………7分

（Ⅱ）作AFBE于F，因为面ABE平面BCD，交线为BE，AF?面ABE，

所以AF面BCD，即AF为A-BCDE的高……………………………………………10分

由ABAE，AB=AE=2，知
…………………………………………………11分

又S梯形BCDE=
，………………………………………………………12分

所以VA-BCDE=
…………………………………………………………14分

18．（本小题满分14分）

已知数列
的各项均大于1，前n项和
满足
。

（Ⅰ）求
及数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
，求证：
。

18.（Ⅰ）解：n=1时，
，因为
，所以
…………………1分

时，
①，
②

两式相减得
，即
…………………4分

整理得
，即
，因为
，所以

故
，………………………………………………………………………6分

所以
是首项和公差均为1的等差数列，可得
……………………………………7分

（Ⅱ）证明：
………………………………………………………9分

故
…11分

……………………………………………14分

19．（本小题满分14分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数。当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。研究表明：当
时，车流速度是车流密度的一次函数。

（Ⅰ）当
时，求函数
的表达式；

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）

19、解析：（Ⅰ）由题意：当
时，
；………………………………………2分

当
时，设
，………………………………………………………3分

由已知得
，解得
………………………………………………………6分

故函数
的表达式为
=
………………………………7分

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

……………………9分

当
时，
为增函数，故当
时，其最大值为
；………11分

当
时，

所以，当
时，
在区间
上取得最大值
>1200．…………………13分

综上，当
时，
在区间
上取得最大值
，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．………14分

20．（本小题满分14分）

已知椭圆：

的离心率
，椭圆左右顶点分别为A、B，且A到椭圆两焦点的距离之和为4。设P为椭圆上不同于A、B的任一点，作PQ⊥x轴，Q为垂足。M为线段PQ中点，直线AM交直线l：x=b于点C，D为线段BC中点（如图5）。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）试判断O、B、D、M四点是否共圆，并说明理由。

20． 解：（Ⅰ）依题，
，

所以椭圆的方程为
。………………………………4分

（Ⅱ）O、B、D、M四点共圆，且圆心为OD的中点。…………5分

证明如下：

依题，A（-1，0），B（1,0），直线l：x=1。设点
，则点
。……………6分

直线AM：
，令x=1，得C（1，
），所以D（1，
）…8分

所以
，
…………………10分

所以
，12分

因为点
，故
，所以
0，所以∠OMD=90o。……………13分

故△OMD和△OBD都是直角三角形，取OD中点N，则由直角三角形性质知|NO|=|NB|=|ND|=|NM|，故O、B、D、M在以N为圆心的圆上。…………………………………14分