台州市2013-2014学年度第一学期期末学业水平调研测试

高二数学（理科）试卷

（必修5、选修2-1）

说明：1．本试卷共4页，考试时间为120分钟，满分150分；

2．各题均在答题卷指定位置上作答，否则无效；考试结束时，只交回答题卷．

第Ⅰ卷（选择题部分）

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上)

1．已知
，
，
分别是
的三个内角
，
，
所对的边，若
，
，
，则
等于

A．
B．
C．
D．1

2．在正方体
中，点
为上底面
的中心，若
，则
，
的值是

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

3．已知两点
，
，且
是
与
的等差中项，则动点
的轨迹方程是

A．
B．
C．
D．

4．已知等比数列
的公比为正数，且
，
，则

A．
B．
C．2 D．

5．双曲线
的渐近线方程是

A．
B．
C．
D．

6．设变量
，
满足约束条件
，则
的最大值为

A． 8 B．6 C．4 D．

7．下列命题错误的是

A．命题“若
，则方程
有实数根”的逆否命题是“若方程
没有实数根，则
”；

B．“
”是“
”的充分不必要条件；

C．命题“若
，则
，
中至少有一个为零”的否命题是“若
，则
，
中至多有一个为零”；

D．对于命题
：
，使得
；则
：
，均有
．

8．甲、乙两人同时从图书馆走向教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行、跑步的速度一样，则先到教室的是

A．甲　 B．乙　 C．甲、乙同时到达　 D．无法确定

第Ⅱ卷（非选择题部分）

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把下列各题的正确答案填写在答题卷相应的位置上)

9．若关于
的不等式
的解集是空集，则实数
的取值范围是 ．

10．
中，
在边
上，且
，
，
，
，则
的长等于 ．

11．已知
是等差数列
的前
项和， 且
，则
．

12．已知双曲线
与椭圆
有共同的焦点，且它们的离心率之和为
，则双曲线
的方程是 ．

13．过抛物线
的焦点
作倾斜角为
的直线与抛物线分别交于
，
两点（
在
轴左侧），则
．

14．若正数
，
满足
，则
的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15．(本小题满分12分)

已知
，
，
分别是
的三个内角
，
，
所对的边，且
．

(1)求角
的值；

(2)若
，
的面积
，求
的值．

16．（本小题满分12分）

已知数列
是公差不为零的等差数列，
，且
是
和
的等比中项．

(1)求数列
的通项公式；

(2)设数列
的前
项和为
，
，试问当
为何值时，
最大？并求出
的最大值．

17．（本小题满分14分）

在直三棱柱
中，
，
，异面直线
与
所成的角等于
，设
．

(1)求
的值；

(2)求平面
与平面
所成的锐二面角的大小．

18．（本小题满分14分）

设
，解关于
的不等式
．

19．（本小题满分14分）

设数列
的前
项和为
，
，
．证明：数列
是公比为
的等比数列的充要条件是
．

20．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知点
，点
在直线
：
上运动，过点
与
垂直的直线和线段
的垂直平分线相交于点
．

(1)求动点
的轨迹
的方程；

(2)过(1)中的轨迹
上的定点

作两条直线分别与轨迹
相交于
，
两点．试探究：当直线
，
的斜率存在且倾斜角互补时，直线
的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

2013-2014学年度第一学期期末学业水平调研测试

高二数学（理科）参考答案

一、选择题(每小题5分，共40分)

AACD CBCB

二、填空题(每小题5分，共30分)

9．
10．
11．10 12．

13．
14．9

三、解答题

15．解：(1)∵

∴
………4分

∴
………6分

(2)由
及
，
得

………10分

解得
………12分

16．解：(1)设等差数列
的公差为
，则

………2分

∵
是
和
的等比中项

∴
，即
………3分

∵

∴
………4分

∴
………5分

(2)由(1)可得
，
………6分

∴

………8分

………10分

当且仅当
，即
时，
取得最大值
． ………12分

17．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
（
） ………1分

∴
，
∴
………3分

∵异面直线
与
所成的角

∴
即
………5分

又
，所以
………6分

(2)设平面
的一个法向量为
，则

，
，即
且

又
，

∴
，不妨取
………8分

同理得平面
的一个法向量
………10分

设
与
的夹角为
，则
………12分

∴
………13分

∴平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
……14分

18．解：(1)若
，则不等式化为
，解得
………2分

(2)若
，则方程的两根分别为2和
………4分

①当
时，解不等式得
………6分

②当
时，不等式的解集为
………8分

③当
时，解不等式得
………10分

④当
时，解不等式得
或
………12分

综上所述，当
时，不等式的解集为
；

当
时，不等式的解集为
；

当
时，不等式的解集为
；

当
时，不等式的解集为
；

当
时，不等式的解集为
………14分

19．证明：(1)必要性：

∵数列
是公比为
的等比数列

∴

………① ………2分

①式两边同乘
，得

………② ………4分

① - ②，得

………6分

∵

∴
………7分

(2)充分性：

由
，得
………8分

∴

即
………10分

∵
也适合上式

∴
………12分

∵

∴当
时，

∴数列
是公比为
的等比数列 ………14分

20．解：(1)依题意，得
………1分

∴动点
的轨迹
是以
为焦点，直线
为准线的抛物线 ………3分

∴动点
的轨迹